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| Aufgabe | Man untersuche die lokalen Extrema der Funktion
f(x,y)= xy [mm] e^{-x^2-y^2} [/mm] |
Hallo erstmal, ich habe die partiellen Ableitungen gebildet, aber weiß nicht ob die richtig sind.
[mm] \bruch{df}{dx} [/mm] = [mm] e^{-x^2-y^2} [/mm] (1-2x+xy+y)
[mm] \bruch{df}{dy} [/mm] = [mm] e^{-x^2-y^2} [/mm] (1-2y+xy+x)
[mm] \bruch{df}{dx_2} [/mm] = [mm] e^{-x^2-y^2} (-2+y-2x+4x^2-2x^2y-2xy)
[/mm]
kann ich dort noch was zusammenfassen? (falls es richtig ist?)
[mm] \bruch{df}{dxy} [/mm] = [mm] e^{-x^2-y^2} (2+x-2y+4xy-2xy^2-2y^2)
[/mm]
kann ich dort noch was zusammenfassen? (falls es richtig ist?)
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Hallo ellegance88,
> Man untersuche die lokalen Extrema der Funktion
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> f(x,y)= xy [mm]e^{-x^2-y^2}[/mm]
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> Hallo erstmal, ich habe die partiellen Ableitungen
> gebildet, aber weiß nicht ob die richtig sind.
>
> [mm]\bruch{df}{dx}[/mm] = [mm]e^{-x^2-y^2}[/mm] (1-2x+xy+y)
Rechne das mal vor.
Nach Produkt- und Kettenregel ergibt sich doch
[mm]f_x(x,y)=y\cdot{}e^{-x^2-y^2}+xy\cdot{}e^{-x^2-y^2}\cdot{}(-2x)=y\cdot{}e^{-x^2-y^2}\cdot{}\left[1-2x^2\right][/mm]
>
> [mm]\bruch{df}{dy}[/mm] = [mm]e^{-x^2-y^2}[/mm] (1-2y+xy+x)
>
> [mm]\bruch{df}{dx_2}[/mm] = [mm]e^{-x^2-y^2} (-2+y-2x+4x^2-2x^2y-2xy)[/mm]
>
> kann ich dort noch was zusammenfassen? (falls es richtig
> ist?)
>
> [mm]\bruch{df}{dxy}[/mm] = [mm]e^{-x^2-y^2} (2+x-2y+4xy-2xy^2-2y^2)[/mm]
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> kann ich dort noch was zusammenfassen? (falls es richtig
> ist?)
Rechne das nochmal nach und vor, das sieht nicht stimmig aus ...
Gruß
schachuzipus
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$ [mm] f_x(x,y)=y\cdot{}e^{-x^2-y^2}+xy\cdot{}e^{-x^2-y^2}\cdot{}(-2x)=y\cdot{}e^{-x^2-y^2}\cdot{}\left[1-2x^2\right] [/mm] $
okay mein fehler habe ich gesehen. nur jetzt kommt die zweite Ableitung.
y * [mm] e^{-x^2-y^2} (1-2x^2)
[/mm]
ist jetzt u(x) = y* [mm] e^{-x^2-y^2} [/mm] oder muss ich u(x) = y und v(x)= [mm] e^{-x^2-y^2} [/mm] und am ende noch einmal die Produktregel anwenden?
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Hallo nochmal,
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> [mm]f_x(x,y)=y\cdot{}e^{-x^2-y^2}+xy\cdot{}e^{-x^2-y^2}\cdot{}(-2x)=y\cdot{}e^{-x^2-y^2}\cdot{}\left[1-2x^2\right][/mm]
>
> okay mein fehler habe ich gesehen. nur jetzt kommt die
> zweite Ableitung.
>
> y * [mm]e^{-x^2-y^2} (1-2x^2)[/mm]
>
> ist jetzt u(x) = y* [mm]e^{-x^2-y^2}[/mm] oder muss ich u(x) = y und
> v(x)= [mm]e^{-x^2-y^2}[/mm] und am ende noch einmal die Produktregel
> anwenden?
Ersteres scheint sinnvoll, das y ist dabei "nur" multiplikative Konstante.
Leite also nach Produktregel ab: erster Faktor [mm] $ye^{-x^2-y^2}$ [/mm] (den per Kettenregel verarzten), zweiter Faktor: der Klammerausdruck
Gruß
schachuzipus
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die zweite Ableitung nach x lautet jetzt bei mir:
[mm] 2xe^{-x^2-y^2} [/mm] ( [mm] -1-2y+2x^2) [/mm] stimmt das jetzt?
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Hallo nochmal,
> die zweite Ableitung nach x lautet jetzt bei mir:
>
> [mm]2xe^{-x^2-y^2}[/mm] ( [mm]-1-2y+2x^2)[/mm] stimmt das jetzt?
Nein!
Rechne vor!
Gruß
schachuzipus
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u(x) = [mm] ye^{-x^2-y^2} [/mm] u´(x) = -2x * [mm] e^{-x^2-y^2}
[/mm]
v(x) = [mm] 1-2x^2 [/mm] v'(x)= -4x
-2x * [mm] e^{-x^2-y^2} [/mm] * [mm] (1-2x^2) [/mm] + [mm] ye^{-x^2-y^2} [/mm] *(-4x)
[mm] e^{-x^2-y^2} [/mm] * [mm] (-2x+4x^3) [/mm] + [mm] e^{-x^2-y^2} [/mm] * (-4xy)
[mm] e^{-x^2-y^2} (4x^3-2x-4xy)
[/mm]
[mm] 2xe^{-x^2-y^2} [/mm] ( [mm] 2x^2-1-2y)
[/mm]
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Hallo ellegance88,
> u(x) = [mm]ye^{-x^2-y^2}[/mm] u´(x) = -2x * [mm]e^{-x^2-y^2}[/mm]
>
Hier ist ein y verlorengegangen:
[mm]u´(x) = -2x\red{y} * e^{-x^2-y^2}[/mm]
> v(x) = [mm]1-2x^2[/mm] v'(x)= -4x
>
> -2x * [mm]e^{-x^2-y^2}[/mm] * [mm](1-2x^2)[/mm] + [mm]ye^{-x^2-y^2}[/mm] *(-4x)
>
> [mm]e^{-x^2-y^2}[/mm] * [mm](-2x+4x^3)[/mm] + [mm]e^{-x^2-y^2}[/mm] * (-4xy)
>
> [mm]e^{-x^2-y^2} (4x^3-2x-4xy)[/mm]
>
> [mm]2xe^{-x^2-y^2}[/mm] ( [mm]2x^2-1-2y)[/mm]
>
Gruss
MathePower
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sooo nun als Endergebis dieser Ableitung habe ich:
2xy [mm] e^{-x^2-y^2} (2x^2-3)
[/mm]
richtig?
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Hallo nochmal,
> sooo nun als Endergebis dieser Ableitung habe ich:
>
> 2xy [mm]e^{-x^2-y^2} (2x^2-3)[/mm]
>
> richtig?
Jau!
Gruß
schachuzipus
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