Extremstellen und Sattelpunkte < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind folgende Funktionen:
1) [mm] f_{1} [/mm] (x) = 3x + 2 mit [mm] D_{f} [/mm] = [mm] \IR
[/mm]
2) [mm] f_{2} [/mm] (x) = - [mm] \frac{1}{x} [/mm] mit [mm] D_{f} [/mm] = [mm] \IR [/mm] *
3) [mm] f_{3} [/mm] (x) = [mm] x^{3} [/mm] + 4x mit [mm] D_{f} [/mm] = [mm] \IR [/mm]
4) [mm] f_{4} [/mm] (x) = [mm] x^{3} [/mm] - 8 mit [mm] D_{f} [/mm] = [mm] \IR [/mm]
5) [mm] f_{5} [/mm] (x) = [mm] x^{3} [/mm] - 2 [mm] x^{2} [/mm] mit [mm] D_{f} [/mm] = [mm] \IR
[/mm]
6) [mm] f_{6} [/mm] (x) = 2 [mm] x^{3} [/mm] + 3 [mm] x^{2} [/mm] + 12 mit [mm] D_{f} [/mm] = [mm] \IR
[/mm]
a) Welche der Funktionen [mm] f_{1} [/mm] bis [mm] f_{6} [/mm] haben keine relativen Extremstellen?
b) Welche der Funktionen [mm] f_{1} [/mm] bis [mm] f_{6} [/mm] haben Sattelpunkte? Bestimmen Sie diese! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zuerst hab ich die 1., 2., und 3. Ableitung von allen Funktionen bestimmt:
[mm] f_{1} [/mm] (x)' = 3
[mm] f_{1} [/mm] (x)'' = 0
[mm] f_{1} [/mm] (x)''' = 0
[mm] f_{2} [/mm] (x)' = [mm] \bruch{1}{x^2}
[/mm]
[mm] f_{2} [/mm] (x)'' = - [mm] \bruch{2}{x^3}
[/mm]
[mm] f_{2} [/mm] (x)''' = [mm] \bruch{6}{x^4}
[/mm]
[mm] f_{3} [/mm] (x)' = [mm] 3x^2 [/mm] + 4
[mm] f_{3} [/mm] (x)'' = 6x
[mm] f_{3} [/mm] (x)''' = 6
[mm] f_{4} [/mm] (x)' = [mm] 3x^2
[/mm]
[mm] f_{4} [/mm] (x)'' = 6x
[mm] f_{4} [/mm] (x)''' = 6
[mm] f_{5} [/mm] (x)' = [mm] 3x^2 [/mm] - 4x
[mm] f_{5} [/mm] (x)'' = 6x - 4
[mm] f_{5} [/mm] (x)''' = 6
[mm] f_{6} [/mm] (x)' = [mm] 6x^2 [/mm] + 6x
[mm] f_{6} [/mm] (x)'' = 12x + 6
[mm] f_{6} [/mm] (x)''' = 12
a) Bedingungen für relative Extremstellen:
Hochpunkt: f(x)' = 0 und f(x)'' < 0
Tiefpunkt: f(x)' = 0 und f(x)'' > 0
1) [mm] f_{1} [/mm] hat keine relativen Extremstellen, weil [mm] f_{1}(x)' [/mm] = 3 ist und somit keine Nullstellen vorhanden sind.
2) [mm] f_{2} [/mm] hat keine Extremstellen, weil [mm] f_{2}(x)' [/mm] = [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] ist und somit [mm] f_{2}(x)' \not= [/mm] 0 ist.
3) [mm] f_{3}(x)' [/mm] = [mm] 3x^2 [/mm] + 4
0 = [mm] 3x^2 [/mm] + 4 |-4
-4 = [mm] 3x^2 [/mm] |:3
- [mm] \bruch{4}{3} [/mm] = [mm] x^2
[/mm]
nicht möglich bei einer negativen Zahl die Wurzel zu ziehen -> [mm] f_{3}(x)' [/mm] hat keine Extremstellen
4) [mm] f_{4}(x)' [/mm] = [mm] 3x^2 [/mm]
0 = [mm] 3x^2
[/mm]
x = 0
x in [mm] f_{4}(x)''
[/mm]
[mm] f_{4}(x)'' [/mm] = 6x = 6 * 0 = 0
-> keine Extremstellen vorhanden weil [mm] f_{4}(x)'' [/mm] = 0, statt < oder > 0.
5) [mm] f_{5} [/mm] (x)' = [mm] 3x^2 [/mm] - 4x
= [mm] 3x^2 [/mm] - 4x
= x (3x - 4)
[mm] x_{1} [/mm] = 0
3x - 4 = 0 |+4
3x = 4 |:3
x = [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{4}{3} [/mm] = 1,33
[mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] in [mm] f_{5} [/mm] (x):
[mm] f_{5} (x_{1}) [/mm] = [mm] x^3 [/mm] - [mm] 2x^2
[/mm]
= [mm] 0^3 [/mm] - [mm] 2*0^2
[/mm]
= 0
[mm] f_{5} (x_{2}) [/mm] = [mm] x^3 [/mm] - [mm] 2x^2
[/mm]
= [mm] 1,33^3 [/mm] - 2 [mm] *(1,33^2)
[/mm]
= -1,185
[mm] f_{5} [/mm] hat relative Extremstellen: T(0/0) und H(1,333/-1,185)
6) [mm] f_{6} [/mm] (x)' = [mm] 6x^2 [/mm] + 6x
= 6x (x + 1)
[mm] x_{1} [/mm] = 0
x + 1 = 0
[mm] x_{2} [/mm] = -1
[mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] in [mm] f_{6} [/mm] (x):
[mm] f_{6} (x_{1}) [/mm] = [mm] 2x^3 [/mm] + [mm] 3x^2 [/mm] + 12
= [mm] 2*0^3 [/mm] + [mm] 3*0^2 [/mm] + 12
= 12
[mm] f_{6} (x_{2}) [/mm] = [mm] 2x^3 [/mm] + [mm] 3x^2 [/mm] + 12
= [mm] 2*(-1^3) [/mm] + [mm] 3*(-1^2) [/mm] + 12
= -2 + 3 + 12
= 13
[mm] f_{6} [/mm] hat relative Extremstellen: T(-1/13) und H(0/12)
b)
Sattelpunkt:
f'' (x) = 0 und f'''(x) [mm] \not= [/mm] 0 -> Wendepunkt
und
f'(x) = 0 (waagerechte Tangente)
bevor ich mich an b) setze, wollte ich erst mal nachfragen, ob a) soweit richtig ist.
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo,
das ist ein bisschen viel auf einmal, aber gehen wir es mal an:
> Gegeben sind folgende Funktionen:
>
> 1) [mm]f_{1}[/mm] (x) = 3x + 2 mit [mm]D_{f}[/mm] = [mm]\IR[/mm]
> 2) [mm]f_{2}[/mm] (x) = - [mm]\frac{1}{x}[/mm] mit [mm]D_{f}[/mm] =
> [mm]\IR[/mm] *
> 3) [mm]f_{3}[/mm] (x) = [mm]x^{3}[/mm] + 4x mit [mm]D_{f}[/mm] = [mm]\IR[/mm]
> 4) [mm]f_{4}[/mm] (x) = [mm]x^{3}[/mm] - 8 mit [mm]D_{f}[/mm] = [mm]\IR[/mm]
> 5) [mm]f_{5}[/mm] (x) = [mm]x^{3}[/mm] - 2 [mm]x^{2}[/mm] mit [mm]D_{f}[/mm] = [mm]\IR[/mm]
> 6) [mm]f_{6}[/mm] (x) = 2 [mm]x^{3}[/mm] + 3 [mm]x^{2}[/mm] + 12 mit [mm]D_{f}[/mm] = [mm]\IR[/mm]
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>
> a) Welche der Funktionen [mm]f_{1}[/mm] bis [mm]f_{6}[/mm] haben keine
> relativen Extremstellen?
>
> b) Welche der Funktionen [mm]f_{1}[/mm] bis [mm]f_{6}[/mm] haben
> Sattelpunkte? Bestimmen Sie diese!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Zuerst hab ich die 1., 2., und 3. Ableitung von allen
> Funktionen bestimmt:
>
> [mm]f_{1}[/mm] (x)' = 3
> [mm]f_{1}[/mm] (x)'' = 0
> [mm]f_{1}[/mm] (x)''' = 0
>
> [mm]f_{2}[/mm] (x)' = [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm]
> [mm]f_{2}[/mm] (x)'' = - [mm]\bruch{2}{x^3}[/mm]
> [mm]f_{2}[/mm] (x)''' = [mm]\bruch{6}{x^4}[/mm]
>
> [mm]f_{3}[/mm] (x)' = [mm]3x^2[/mm] + 4
> [mm]f_{3}[/mm] (x)'' = 6x
> [mm]f_{3}[/mm] (x)''' = 6
>
> [mm]f_{4}[/mm] (x)' = [mm]3x^2[/mm]
> [mm]f_{4}[/mm] (x)'' = 6x
> [mm]f_{4}[/mm] (x)''' = 6
>
> [mm]f_{5}[/mm] (x)' = [mm]3x^2[/mm] - 4x
> [mm]f_{5}[/mm] (x)'' = 6x - 4
> [mm]f_{5}[/mm] (x)''' = 6
>
> [mm]f_{6}[/mm] (x)' = [mm]6x^2[/mm] + 6x
> [mm]f_{6}[/mm] (x)'' = 12x + 6
> [mm]f_{6}[/mm] (x)''' = 12
>
>
>
> a) Bedingungen für relative Extremstellen:
> Hochpunkt: f(x)' = 0 und f(x)'' < 0
> Tiefpunkt: f(x)' = 0 und f(x)'' > 0
>
> 1) [mm]f_{1}[/mm] hat keine relativen Extremstellen, weil [mm]f_{1}(x)'[/mm]
> = 3 ist und somit keine Nullstellen vorhanden sind.
Richtig.
> 2) [mm]f_{2}[/mm] hat keine Extremstellen, weil [mm]f_{2}(x)'[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm] ist und somit [mm]f_{2}(x)' \not=[/mm] 0 ist.
>
Auch richtig.
> 3) [mm]f_{3}(x)'[/mm] = [mm]3x^2[/mm] + 4
> 0 = [mm]3x^2[/mm] + 4 |-4
> -4 = [mm]3x^2[/mm] |:3
> - [mm]\bruch{4}{3}[/mm] = [mm]x^2[/mm]
> nicht möglich bei einer negativen Zahl die Wurzel zu
> ziehen -> [mm]f_{3}(x)'[/mm] hat keine Extremstellen
Ebenfalls korrekt.
> 4) [mm]f_{4}(x)'[/mm] = [mm]3x^2[/mm]
> 0 = [mm]3x^2[/mm]
> x = 0
> x in [mm]f_{4}(x)''[/mm]
> [mm]f_{4}(x)''[/mm] = 6x = 6 * 0 = 0
> -> keine Extremstellen vorhanden weil [mm]f_{4}(x)''[/mm] = 0,
> statt < oder > 0.
Einspruch. Zwar ist deine Enschätzung richtig, dass es keine Extrema gibt, deine Begründung mit der zweiten Ableitung ist jedoch keinesfalls hinreichend. Begründe es besser über den nicht vorhandenen Vorzeichenwechsel in der ersten Ableitung.
>
> 5) [mm]f_{5}[/mm] (x)' = [mm]3x^2[/mm] - 4x
> = [mm]3x^2[/mm] - 4x
> = x (3x - 4)
> [mm]x_{1}[/mm] = 0
>
> 3x - 4 = 0 |+4
> 3x = 4 |:3
> x = [mm]\bruch{4}{3}[/mm]
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\bruch{4}{3}[/mm] = 1,33
>
> [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] in [mm]f_{5}[/mm] (x):
>
> [mm]f_{5} (x_{1})[/mm] = [mm]x^3[/mm] - [mm]2x^2[/mm]
> = [mm]0^3[/mm] - [mm]2*0^2[/mm]
> = 0
>
> [mm]f_{5} (x_{2})[/mm] = [mm]x^3[/mm] - [mm]2x^2[/mm]
> = [mm]1,33^3[/mm] - 2 [mm]*(1,33^2)[/mm]
> = -1,185
>
> [mm]f_{5}[/mm] hat relative Extremstellen: T(0/0) und
> H(1,333/-1,185)
Richtig, im Falle des Hochpunkts unsinnig notiert (verwende Brüche an Stelle von gerundeten Dezimalzahlen). Außerdem ist die Angabe der y-Koordinate nicht notwendig, wenn nach Extremstellen gefragt ist.
> 6) [mm]f_{6}[/mm] (x)' = [mm]6x^2[/mm] + 6x
> = 6x (x + 1)
> [mm]x_{1}[/mm] = 0
>
> x + 1 = 0
> [mm]x_{2}[/mm] = -1
>
> [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] in [mm]f_{6}[/mm] (x):
> [mm]f_{6} (x_{1})[/mm] = [mm]2x^3[/mm] + [mm]3x^2[/mm] + 12
> = [mm]2*0^3[/mm] + [mm]3*0^2[/mm] + 12
> = 12
>
> [mm]f_{6} (x_{2})[/mm] = [mm]2x^3[/mm] + [mm]3x^2[/mm] + 12
> = [mm]2*(-1^3)[/mm] + [mm]3*(-1^2)[/mm] + 12
> = -2 + 3 + 12
> = 13
>
> [mm]f_{6}[/mm] hat relative Extremstellen: T(-1/13) und H(0/12)
>
Auch richtig, Hinweise wie bei [mm] f_5.
[/mm]
>
> b)
> Sattelpunkt:
> f'' (x) = 0 und f'''(x) [mm]\not=[/mm] 0 -> Wendepunkt
> und
> f'(x) = 0 (waagerechte Tangente)
>
>
>
> bevor ich mich an b) setze, wollte ich erst mal nachfragen,
> ob a) soweit richtig ist.
a) ist ja besprochen. Bedenke bei der Aufgabe b), dass die von dir angegebenene hinreichende Bedingung für einen Sattelpunkt für die hier vorliegenden Beispiele ausreicht, keinesfalls jedoch generell. Die Problematik, die ich meine, ist im Prinzip die gleiche wie bei Aufgabe 4a).
Gruß, Diophant
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> a) Bedingungen für relative Extremstellen:
> Hochpunkt: f(x)' = 0 und f(x)'' < 0
> Tiefpunkt: f(x)' = 0 und f(x)'' > 0
Das sind die sog. HINREICHENDEN Bedingungen: Wenn sie vorliegen, kannst du sicher sein, dass du einen H- bzw. T-Punkt hast.
Die jeweils 2. Bedingung mit [mm] f"\ne [/mm] 0 MUSS aber nicht erfüllt sein, worauf Diophant schon bezgl. [mm] f_4 [/mm] hingewiesen hat.
Es gilt: Ist f'(x)=0 und f"(x)=0, so liegt ein H-, T- oder Sattelpunkt vor. Alles 3 ist möglich (wobei für S-Punkt nur f"(x)=0 übrig bleibt, da bei [mm] f"(x)\ne0 [/mm] ja H- oder T- vorliegt).
So hast du bei [mm] f(x)=x^3 [/mm] und bei [mm] g(x)=x^4 [/mm] f'(0)=g'(0)=0 und f"(0)=g"(0)=0, aber bei f dort einen S- und bei g einen T-Punkt.
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