Extremum mit Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Fr 23.12.2011 | | Autor: | MaxiN |
| Aufgabe | f(x,y)=ln(x*sin(y)+1)
a) Skizzieren Sie die Schnitte der Funktionen mit den 3 Ebenen y=-pi/2,0,pi(2
b) Skizziern Sie den Schnitt der Funktion mit der Ebene x=1
c) Führen Sie die Nebenbedingung x²=y² ein und bestimmen Sie ein Extremum nach der Methode von Lagrange |
Hallo,
Aufgabe a) und b) sind keinerlei Problem. Nur bei der Aufgabe c) habe ich mein Probleme.
Was ich mir bisher überlegt habe:
f(x,y)=ln(x*sin(y)+1) Die Nebenbedingung ist g(x,y)=y²-x²
Funktion zusammen mit Lagrange Multiplikator
G(x,y,lambda)=ln(x*sin(y)+1)+lambda y² - lambda x²
Jetzt nach jeder Variablen differenziert:
dG/dx=(sin(y))/(x*sin(y)+1) - 2 lambda x = 0
dG/dy=(x*cos(y)/(x*sin(y)+1) + 2 lambda y = 0
dG/dlambda=y²-x² = 0
=> y²=x² => y=x
Jetzt zur Schwierigkeit, wie kann ich die oberen Beziehungen nach x auflösen. Damit ich schließlich das Extremum bestimmen kann. Oder stimmt der ganze Ansatz nicht? Vielen Dank im Voraus
Gruß
Maxi
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Hallo MaxiN,
> f(x,y)=ln(x*sin(y)+1)
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> a) Skizzieren Sie die Schnitte der Funktionen mit den 3
> Ebenen y=-pi/2,0,pi(2
> b) Skizziern Sie den Schnitt der Funktion mit der Ebene
> x=1
> c) Führen Sie die Nebenbedingung x²=y² ein und
> bestimmen Sie ein Extremum nach der Methode von Lagrange
> Hallo,
>
> Aufgabe a) und b) sind keinerlei Problem. Nur bei der
> Aufgabe c) habe ich mein Probleme.
>
> Was ich mir bisher überlegt habe:
>
> f(x,y)=ln(x*sin(y)+1) Die Nebenbedingung ist
> g(x,y)=y²-x²
>
> Funktion zusammen mit Lagrange Multiplikator
>
> G(x,y,lambda)=ln(x*sin(y)+1)+lambda y² - lambda x²
>
> Jetzt nach jeder Variablen differenziert:
>
> dG/dx=(sin(y))/(x*sin(y)+1) - 2 lambda x = 0
>
> dG/dy=(x*cos(y)/(x*sin(y)+1) + 2 lambda y = 0
>
> dG/dlambda=y²-x² = 0
>
> => y²=x² => y=x
>
> Jetzt zur Schwierigkeit, wie kann ich die oberen
> Beziehungen nach x auflösen. Damit ich schließlich das
> Extremum bestimmen kann. Oder stimmt der ganze Ansatz
> nicht? Vielen Dank im Voraus
>
Der Ansatz stimmt schon.
Löse die ersten beiden Gleichungen nach [mm]\lambda[/mm] auf,
und setze diese dann gleich. Löse dann dies nach x auf.
Das Ergebnis setzt Du dann in die 3. Gleichung ein.
> Gruß
>
> Maxi
>
Gruss
MathePower
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