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Hallo,
ich leide gerade an einer kleinen Anwendungsaufgabe bzw. der Mathematik dahinter.
Gegeben ist eine Laufbahn:
Sie besitz zwei parallel gegenüberliegende Bahnen der Länge a.
Die "Kurven" sind beides Halbkreise mit dem Radius r.
Der Gesamtumfang beträgt 8000m.
"Wie groß kann das Basketballfeld maximal sein?"
Ich bin mir nun nicht sicher, wie ich vorgehen soll. Bei den Extremwertaufgaben, die ich mich angesehen habe, wird immer eine "Ableitung" verwendet. Dies ist mir vollkommen fremd und bis jetzt konnte mir keine Quelle weiterhelfen.
Jedenfalls würde ich so anfangen:
Fläche des Fußballfeldes:
A = 2ra
Umfang:
U = [mm] 2a+2\pi [/mm] r
[mm] 2a+2\pi [/mm] r = 8000
[mm] \gdw [/mm] a+ [mm] \pi [/mm] r =4000
[mm] \gdw [/mm] a = 4000 - [mm] \pi [/mm] r
Einsetzung:
A= 2r (4000 - [mm] \pi [/mm] r)
A= 8000r - [mm] 2\pi r^{2}
[/mm]
Und nun? ^^
...die einzige weitere Methode, die mir einfällt, ist es, diese Gleichung in die Scheitelpunktsform mit A als Ausgabegröße zu bringen...
[mm] \gdw [/mm] -A= [mm] 2\pi (r^{2} -\bruch{4000r}{\pi})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] -A= [mm] 2\pi (r^{2} -\bruch{4000r}{\pi} [/mm] + [mm] (\bruch{2000}{\pi})^{2}- (\bruch{2000}{\pi})^{2})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] A= [mm] -2\pi [(r-\bruch{2000}{\pi})^{2}-(\bruch{2000}{\pi})^{2}]
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] A= [mm] -2\pi (r-\bruch{2000}{\pi})^{2}+\bruch{8000000}{\pi}
[/mm]
Demnach:
[mm] s(\bruch{2000}{\pi}|\bruch{8000000}{\pi})
[/mm]
also:
A= 8000r - [mm] 2\pi r^{2}
[/mm]
[mm] \bruch{8000000}{\pi}=8000r [/mm] - [mm] 2\pi r^{2}
[/mm]
[mm] \bruch{4000000}{\pi}=4000r [/mm] - [mm] \pi r^{2}
[/mm]
Nach etwas Ausklammern und der Anwendung der pq-Formel müsste ich doch zum Ergebnis kommen?
Wie kann man dies mit Ableitungen lösen?
Danke. :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 Mi 06.05.2015 | | Autor: | Thomas_Aut |
Bevor wir uns das ansehen :
Ist das Basketballfeld genau das Rechteck mit der Seitenlänge a und am Ende des Rechtecks setzt die Krümmung der Kurve (Laufbahn) an ?
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Ja, es ist das Rechteck mit den Seitenlängen a und 2r. :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 Mi 06.05.2015 | | Autor: | chrisno |
Mit der Differentialrechnung:
$A(r) = 8000 r - [mm] 2\pi r^2 [/mm] $
Die erste Ableitung(sfunktion) lautet:
$A'(r) = 8000 - [mm] 4\pi [/mm] r$
Die Funktion kann nur ein Extremum haben, wenn $A'(r) = 0$ gilt (einiges an Text weggelassen)
Also kann sie nur ein Extremum für $r = [mm] \br{2000}{\pi}$ [/mm] haben.
Nun muss noch überlegt werden, ob es ein Maximum, ein Minimum oder vielleicht nur ein Sattelpunkt ist.
Für $r [mm] \to \pm\infty$ [/mm] werden die Funktionswerte beliebig klein. Dazwischen sind sie größer, streckenweise auch positiv. Es muss also ein Maximum geben, und es gibt nur einen Kandidaten dafür, nämlich $r = [mm] \br{2000}{\pi}$. [/mm] Also ergibt sich die maximale Fläche zu $A = 8000 [mm] \cdot \br{2000}{\pi} [/mm] - [mm] 2\pi (\br{2000}{\pi})^2 \approx 2,5\cdot 10^6 m^2$.
[/mm]
Mit der Scheitlepunktmethode solltes Du zum gleichen Ergebnis kommen. Das Erkennen der nach unten geöffneten Parabel macht auch klar, dass es ein Maximum geben muss.
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Du hast das Problem schon fast vollständig gelöst. Die Ableitung, von der du gehört hast, brauchst du bei quadratischen Funktionen noch nicht, wenn du nur den Scheitelpunkt bestimmen willst. Es geht dabei sogar ohne den üblichen Scheitelpunkt-Bestimmungs-Firlefanz:
A= 2r (4000 - $ [mm] \pi [/mm] $ r)
ist eine nach unten geöffnete Parabel, hat also einen Hochpunkt. Dort ist der Wert für A maximal. Du weißt auch, dass die Parabel achsensymmetrisch ist, der Hochpunkt also auf der Symmetrieachse liegt. Jetzt suchst du dir zwei andere Symmetriepunkte, und du weißt dann, dass die Achse genau in der Mitte dazwischen liegt. Welche sind das? Natürlich die Nullstellen, dort schneidet die Parabel die x-Achse auf gleicher Höhe. Und die bestimmst du nun nicht mit Hilfe der p-q-Formel, sondern durch Ablesen:
Wann wird A= 2r (4000 - $ [mm] \pi [/mm] $ r) =0 ?
Wann wird ein Produkt 0?
Wenn einer der Faktoren = wird. Also bei 2r=0, also r=0 oder bei 4000 - $ [mm] \pi [/mm] $ r=0, also r = [mm] 4000/\pi.
[/mm]
Die Mitte zwischen diesen beiden Nullstellen ist somit [mm] 2000/\pi, [/mm] und das ist der r-Wert, bei dem die Parabel den Hochpunkt hat, also A maximal wird.
Diesen Wert setzt du jetzt noch in A= 2r (4000 - $ [mm] \pi [/mm] $ r) für r ein und erhältst die maximale Fläche.
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Ich habe hier viel erklärt - aber wenn du das noch mal mit Verstand durchliest,kannst du für quadratische Funktionen ganz schnell ohne Transformationen oder p-q-Formel den Hochpunkt bestimmen. Hier noch mal ein allgemeiner Fall:
Wo hat Die Parabel von f(x)=2 [mm] x^2 [/mm] - 12x + 8 ihren Tiefpunkt?
1. Schiebe den Graphen um 8 nach unten, dadurch verschiebt sich nur die Höhe, nicht aber der gesuchte x-Wert. Dadurch fällt das +8 weg: [mm] 2x^2-12x
[/mm]
2. Jetzt kannst du ein x ausklammern (wegen der 8 ging das vorher nicht) ....= x(2x-12)
3. Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse: x=0 (ist dann immer so) oder 2x=12, also x=6.
4.Der Tiefpunkt liegt in der Mitte zwischen beiden Schnittstellen, also bei x=3.
5. Jetzt schiebst die Die Parabel in Gedanken wieder um 8 nach oben, der Tiefpunkt bleibt bei x=3
6. [mm] f(3)=2*3^2-12*3+8=-10, [/mm] also S(3|-10).
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