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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Sa 25.10.2008 | | Autor: | mitex |
| Aufgabe | Gasflaschen (Volumen V) haben die Gestalt eines Drehzylinders mit aufgesetzter Halbkugel.
Berechnen Sie den minimalen Materialverbrauch. Lösen Sie das Beispiel allgemein und für V=5 Liter. |
Grüß euch,
hab mal wieder ein Problem mit einer Extremwertaufgabe.
Also, meine Vorgehensweise bis jetzt:
NB:
V Zylinder: [mm] r^2*\pi*h
[/mm]
V Halbkugel: [mm] \bruch{4}{3.2}*r^3\pi
[/mm]
V Gasflasche: [mm] r^2*\pi*h [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}*r^3\pi
[/mm]
[mm] h=\bruch{V}{r^2\pi}-\bruch{2}{3}r [/mm]
HB: [mm] O=2r^2\pi+2r^2\pi+2r\pi*h
[/mm]
O= [mm] 2r\pi(r+r+h) \Rightarrow [/mm] r(2r+h) (2 und [mm] \pi [/mm] kann ich als Konstante weglassen)
[mm] \overline{O}= r(2r+(\bruch{V}{r^2\pi}-\bruch{2}{3}r))
[/mm]
[mm] \overline{O}= 2r^2+(\bruch{V}{r\pi}-\bruch{2}{3}r^2)
[/mm]
[mm] \overline{O}'= 4r-(\bruch{V}{r^2\pi}-\bruch{4r}{3}=0 [/mm]
[mm] 12r^3\pi-3V-4r^3\pi=0
[/mm]
[mm] 8r^3\pi=3V
[/mm]
[mm] r^3=\bruch{3V}{8\pi}
[/mm]
[mm] r=3.\wurzel{\bruch{3V}{8\pi}} [/mm] (meine die 3. Wurzel aus ...)
So, habe alles kontrolliert, dürfte nicht auch noch einen Tippfehler drinnen haben, wird so schon was zu finden sein.
Danke schon mal im Voraus für eure Hilfe,
Gruß, mitex
PS: Habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Sa 25.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Gasflaschen (Volumen V) haben die Gestalt eines
> Drehzylinders mit aufgesetzter Halbkugel.
> Berechnen Sie den minimalen Materialverbrauch. Lösen Sie
> das Beispiel allgemein und für V=5 Liter.
> Grüß euch,
>
> hab mal wieder ein Problem mit einer Extremwertaufgabe.
>
> Also, meine Vorgehensweise bis jetzt:
>
> NB:
> V Zylinder: [mm]r^2*\pi*h[/mm]
> V Halbkugel: [mm]\bruch{4}{3.2}*r^3\pi[/mm]
>
> V Gasflasche: [mm]r^2*\pi*h[/mm] + [mm]\bruch{2}{3}*r^3\pi[/mm]
Soweit okay.
>
> [mm]h=\bruch{V}{r^2\pi}-\bruch{2}{3}r[/mm]
>
Auch okay.
>
> HB: [mm]O=2r^2\pi+2r^2\pi+2r\pi*h[/mm]
Das passt nicht.
Der Zylinder ist oben offen, also gilt für die Oberfläche des "Zylinderteils":
[mm] O=\pi*r²+2\pi*r*h
[/mm]
Und für die Halbkugel: [mm] \bruch{4\pi*r³}{2}=2\pi*r³
[/mm]
Also: [mm] O=\pi*r²+2\pi*r*h+2\pi*r2
[/mm]
[mm] =\pi*r²+2\pi*r*\left(\bruch{V}{r^2\pi}-\bruch{2}{3}r\right)+2\pi*r²
[/mm]
[mm] =\pi*r²+\bruch{2\pi*r*V}{r^2\pi}-\bruch{4\pi*r²}{3}+2\pi*r²
[/mm]
[mm] =\pi*r²+2V*r^{-1}-\bruch{4}{3}\pi*r²+2\pi*r²
[/mm]
[mm] =\bruch{5}{3}\pi*r²+2V*r^{-1}
[/mm]
>
> O= [mm]2r\pi(r+r+h) \Rightarrow[/mm] r(2r+h) (2 und [mm]\pi[/mm] kann ich
> als Konstante weglassen)
Das kannst du nicht. Für die Oberfläche brauchst du diese noch..
Jetzt mal zur Errechnung des Extremwertes:
[mm] O(r)=\bruch{5}{3}\pi*r²+2V*r^{-1}
[/mm]
[mm] O'(r)=\bruch{10}{3}\pi*r-2V*r^{-2}
[/mm]
[mm] O''(r)=\bruch{10}{3}\pi+4V*r^{-3}
[/mm]
Also:
[mm] \bruch{10}{3}\pi*r-2V*r^{-2}=0
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{10}{3}\pi*r³-2V=0
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{10}{3}\pi*r³=2V
[/mm]
[mm] \gdw r³=\bruch{6V}{10\pi}
[/mm]
[mm] \gdw r=\wurzel[3]{\bruch{3V}{5\pi}}
[/mm]
Jetzt weise nochmal mach, dass das ein Minimum ist.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Sa 25.10.2008 | | Autor: | mitex |
Hallo Marius, vorerst danke für deine Hilfe, komme aber noch nicht klar.
> >
> > HB: [mm]O=2r^2\pi+2r^2\pi+2r\pi*h[/mm]
>
> Das passt nicht.
> Der Zylinder ist oben offen, also gilt für die Oberfläche
> des "Zylinderteils":
> [mm]O=\pi*r²+2\pi*r*h[/mm]
> Und für die Halbkugel: [mm]\bruch{4\pi*r³}{2}=2\pi*r³[/mm]
> Also: [mm]O=\pi*r²+2\pi*r*h+2\pi*r2[/mm]
--> Hm, wohin ist denn das [mm] 2\pi*r³ [/mm] verschwunden?
> [mm]=\pi*r²+2\pi*r*\left(\bruch{V}{r^2\pi}-\bruch{2}{3}r\right)+2\pi*r²[/mm]
>
> [mm]=\pi*r²+\bruch{2\pi*r*V}{r^2\pi}-\bruch{4\pi*r²}{3}+2\pi*r²[/mm]
> [mm]=\pi*r²+2V*r^{-1}-\bruch{4}{3}\pi*r²+2\pi*r²[/mm]
> [mm]=\bruch{5}{3}\pi*r²+2V*r^{-1}[/mm]
>
>
> >
> > O= [mm]2r\pi(r+r+h) \Rightarrow[/mm] r(2r+h) (2 und [mm]\pi[/mm] kann ich
> > als Konstante weglassen)
>
> Das kannst du nicht. Für die Oberfläche brauchst du diese
> noch..
>
> Jetzt mal zur Errechnung des Extremwertes:
>
> [mm]O(r)=\bruch{5}{3}\pi*r²+2V*r^{-1}[/mm]
> [mm]O'(r)=\bruch{10}{3}\pi*r-2V*r^{-2}[/mm]
> [mm]O''(r)=\bruch{10}{3}\pi+4V*r^{-3}[/mm]
>
> Also:
> [mm]\bruch{10}{3}\pi*r-2V*r^{-2}=0[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{10}{3}\pi*r³-2V=0[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{10}{3}\pi*r³=2V[/mm]
>
> [mm]\gdw r³=\bruch{6V}{10\pi}[/mm]
> [mm]\gdw r=\wurzel[3]{\bruch{3V}{5\pi}}[/mm]
>
> Jetzt weise nochmal mach, dass das ein Minimum ist.
>
> Marius
Prüfen auf Minimum:
Wenn ich dein Ergebnis verwende (das in meinem Lösungsteil lautet leider anders, und zwar: [mm]r=\wurzel[3]{45\pi*V²}}[/mm])
[mm]\gdw r=\wurzel[3]{\bruch{3*5}{5\pi}}=positiv \Rightarrow Minumum[/mm]
mitex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:53 So 26.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. du solltest die Loesung nachvollziehen, nicht uebernehmen.
2. die angegebene loesung MUSS falsch sein. [mm] V^2 [/mm] hat die Dimension [mm] laenge^6 [/mm] die dritte Wurzel aus [mm] V^2 [/mm] gibt also ne [mm] laenge^2 [/mm] also ne Flaeche, der Radius muss aber ne laenge sein!
Vielleicht ist das die Angabe fuer die maximale Flaeche und nicht fuer den Radius?
ausserdem: bei [mm] V=1m^3 [/mm] kaem r etwa [mm] 5m^2 [/mm] raus, also ein Durchmesser von ueber [mm] 10m^2! [/mm] ziemlicher Unsinn .
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 So 26.10.2008 | | Autor: | mitex |
Schönen guten Morgen allseits, bin jetzt etwas verwirrt.
> Hallo
> 1. du solltest die Loesung nachvollziehen, nicht
> uebernehmen.
Tut mir leid, wenn es so rübergekommen ist, als würde ich die Lösung einfach übernehmen. Indem ich selber nicht auf die vorgegebene Lösung kam, habe ich diese mit der in der Angabe (V=5 l) auch berechnet, und dabei bekomme ich eine Oberfläche von:
[mm]^3\wurzel{45\pi*V^2}=15,23 dm^2[/mm], was mir nicht abwegig erscheint.
> 2. die angegebene loesung MUSS falsch sein. [mm]V^2[/mm] hat die
> Dimension [mm]laenge^6[/mm] die dritte Wurzel aus [mm]V^2[/mm] gibt also ne
> [mm]laenge^2[/mm] also ne Flaeche, der Radius muss aber ne laenge
> sein!
> Vielleicht ist das die Angabe fuer die maximale Flaeche und
> nicht fuer den Radius?
> ausserdem: bei [mm]V=1m^3[/mm] kaem r etwa [mm]5m^2[/mm] raus, also ein
> Durchmesser von ueber [mm]10m^2![/mm] ziemlicher Unsinn .
> Gruss leduart
Nach wie vor frage ich mich, warum Marius die Oberfläche mit:
[mm]\pi*r²+2\pi*r*h+2\pi*r² (?!?)[/mm] berechnet hat und nicht mit [mm]2\pi*r³[/mm]
Gruß mitex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 So 26.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Marius hat in der einen formel einen "Druckfehler" und bei der Oberflaeche [mm] r^3 [/mm] statt [mm] r^2 [/mm] geschrieben. da wo er dann einsetzt setzt er richtig [mm] r^2 [/mm] ein.eine flaeche kann nie [mm] laenge^3 [/mm] sein. also war die erste formel die er hinschrieb falsch.
Das mit dem r in der Loesungsvorlage hat sich anscheinen auch geklaert?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:55 So 26.10.2008 | | Autor: | mitex |
Grüß dich Leduard,
herzlichen Dank für deine Hilfe, so werd ich das hinbekommen.
Gruß mitex
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