Extremwert < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Fr 31.10.2008 | | Autor: | mitex |
| Aufgabe | | Ein Trichter hat die Form eines Kegels mit aufgesetztem Zylinder. Die Kegelmantellinie s ist 3x so lang wie die Höhe des Zylinders. Wie groß muss der Winkel zwischen der Achse des Trichters und der Mantellinie gewählt werden, damit bei gegebener Zylinderhöhe a das Trichtervolumen maximal wird. |
Grüß euch,
bin wieder auf eure Hilfe angewiesen.
HB:
V Kegel: [mm] \bruch{r²\pi*h}{3}
[/mm]
V Zylinder: [mm] r²\pi*h [/mm] -> h=a
V Trichter: [mm] \bruch{r²\pi*h}{3} [/mm] + [mm] r²\pi*a \Rightarrow [/mm] max.
Habe mir eine Zeichnung gemacht, also im Kegelteil, der durch die Achse halbiert wird, bekomme ich ein rechtwinkeliges Dreieck:
s²=r²+h², wobei s = 3a
[mm] h=\wurzel{(3a)²-r²}
[/mm]
Weiß aber ehrlich gesagt nicht, was ich hier mit dem Winkel machen soll, hier wäre sin [mm] \alpha=\bruch{r}{3a}
[/mm]
Wenn ich h in die HB einfüge habe ich 2 Variable???
Kann mir jemand weiterhelfen, Danke schon mal im Voraus.
Gruß
mitex
PS: Habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
|
|
| |
|
guten Abend mitex !
> Ein Trichter hat die Form eines Kegels mit aufgesetztem
> Zylinder. Die Kegelmantellinie s ist 3x so lang wie die
> Höhe des Zylinders. Wie groß muss der Winkel zwischen der
> Achse des Trichters und der Mantellinie gewählt werden,
> damit bei gegebener Zylinderhöhe a das Trichtervolumen
> maximal wird.
> HB:
> V Kegel: [mm]\bruch{r²\pi*h}{3}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> V Zylinder: [mm]r²\pi*h[/mm] -> h=a
>
> V Trichter: [mm]\bruch{r²\pi*h}{3}[/mm] + [mm]r²\pi*a \Rightarrow[/mm] max.
>
> Habe mir eine Zeichnung gemacht, also im Kegelteil, der
> durch die Achse halbiert wird, bekomme ich ein
> rechtwinkeliges Dreieck:
>
> s²=r²+h², wobei s = 3a
>
> [mm]h=\wurzel{(3a)²-r²}[/mm]
>
> Weiß aber ehrlich gesagt nicht, was ich hier mit dem Winkel
> machen soll, hier wäre sin [mm]\alpha=\bruch{r}{3a}[/mm]
um den Winkel kann man sich später kümmern
> Wenn ich h in die HB einfüge habe ich 2 Variable???
Nennen wir das Trichtervolumen einfach V. Es gilt:
[mm] V=\pi*r^2*(a+\bruch{h}{3})
[/mm]
a können wir als gegebene Konstante betrachten, also sind
in dieser Gleichung noch zwei Variable r und h. Mittels der
Gleichung s²=r²+h² kann man aber [mm] r^2 [/mm] durch [mm] s^2-h^2
[/mm]
ersetzen, und wegen s=3a ist [mm] s^2=9a^2, [/mm] also [mm] r^2=9a^2-h^2
[/mm]
Damit ergibt sich
[mm] V=V(h)=\pi*(9a^2-h^2)*(a+\bruch{h}{3})
[/mm]
und dies ist eine Funktion der einzigen Variablen h.
Die Lösung der Extremwertaufgabe liefert h als ein
Vielfaches von a. Daraus kann man leicht [mm] cos(\alpha) [/mm] und
damit [mm] \alpha [/mm] berechnen.
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Fr 31.10.2008 | | Autor: | mitex |
Guten Abend Al-Chwarizmi !
> Nennen wir das Trichtervolumen einfach V. Es gilt:
>
> [mm]V=\pi*r^2*(a+\bruch{h}{3})[/mm]
>
> a können wir als gegebene Konstante betrachten, also sind
> in dieser Gleichung noch zwei Variable r und h. Mittels
> der
> Gleichung s²=r²+h² kann man aber [mm]r^2[/mm] durch [mm]s^2-h^2[/mm]
> ersetzen, und wegen s=3a ist [mm]s^2=9a^2,[/mm] also [mm]r^2=9a^2-h^2[/mm]
>
> Damit ergibt sich
>
> [mm]V=V(h)=\pi*(9a^2-h^2)*(a+\bruch{h}{3})[/mm]
>
> und dies ist eine Funktion der einzigen Variablen h.
> Die Lösung der Extremwertaufgabe liefert h als ein
> Vielfaches von a. Daraus kann man leicht [mm]cos(\alpha)[/mm] und
> damit [mm]\alpha[/mm] berechnen.
Ich glaube, der Großteil ist mir soweit klar, aber warum betrachten wir a als Konstante und wieso liefert h uns die Lösung der Aufgabe?
LG mitex
|
|
|
| |
|
Hallo, in deiner Aufgabe steht
"bei gegebener Zylinderhöhe a"
das könnte z.B. a=10cm sein, löse dann die Klammern auf, bilde die 1. Ableitung, setze diese gleich Null, du bekommst dann h=a, ist also a bekannt, ist auch h bekannt,
Steffi
|
|
|
|
