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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:57 So 14.11.2004 | | Autor: | loona |
Hallo!
Habe hier ein kniffliges Beispiel, woran ich jetzt schon stunden probiere.
Ich hätte auch (logisch richtige, so denk ich) schon 2 Lösungsansätze gefunden, aber wenn ich die Gleichungen auflösen will, kommen absolut irre Ergebnisse heraus.
Zuerst das Beispiel:
Der Rand eines Teiches ist von den beiden rechtwinkelig aufeinander treffenden Strassen 768m bzw. 324m entfernt. Berechnen Sie die Länge des kürzesten Weges, der die beiden Strassen vebindet und den Rand des Teiches berührt. (anbei eine Skizze)
Mein erster Gedankengang war, dass ich als Hauptbedingung die Strecke AB mit dem Phytagoras beschreibe. Dabei beschrieb ich die Seiten mit:
x=(324/tan [mm] \alpha [/mm] + [mm] 768)^{2} [/mm] und
y=(768*tan [mm] \alpha [/mm] + [mm] 324)^{2}
[/mm]
Leider scheiterte ich da schon an der ersten Ableitung....
Daraufhin versuchte ich über die Flächen einen Ansatz zu finden:
Ages= (768*tan [mm] \alpha [/mm] +324)*(324/tan [mm] \alpha [/mm] +768)*1/2
Für die 1.Ableitung davon errechnete ich:
[mm] -52488/sin^{2} \alpha [/mm] + [mm] 294912/cos^{2} \alpha
[/mm]
Damit wollte ich [mm] \alpha [/mm] errechnen und somit die Aufgabe lösen, aber wieder kommt für die Gleichung kein sinnvolles ergebnis raus...
Darum bitte ich, ob wer meinen Denkfehler erkennen kann.?
mfg!
l [mm] \infty [/mm] na
[Dateianhang nicht öffentlich]
ICH HABE DIESE FRAGE IN KEINEM ANDEREN FORUM/SEITE GEPOSTET
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Ioona,
> Zuerst das Beispiel:
> Der Rand eines Teiches ist von den beiden rechtwinkelig
> aufeinander treffenden Strassen 768m bzw. 324m entfernt.
> Berechnen Sie die Länge des kürzesten Weges, der die beiden
> Strassen vebindet und den Rand des Teiches berührt. (anbei
> eine Skizze)
>
> Mein erster Gedankengang war, dass ich als Hauptbedingung
> die Strecke AB mit dem Phytagoras beschreibe. Dabei
> beschrieb ich die Seiten mit:
> x=(324/tan [mm]\alpha[/mm] + [mm]768)^{2}[/mm] und
> y=(768*tan [mm]\alpha[/mm] + [mm]324)^{2}
[/mm]
> Leider scheiterte ich da schon an der ersten
> Ableitung....
>
> Daraufhin versuchte ich über die Flächen einen Ansatz zu
> finden:
>
> Ages= (768*tan [mm]\alpha[/mm] +324)*(324/tan [mm]\alpha[/mm] +768)*1/2
>
> Für die 1.Ableitung davon errechnete ich:
> [mm]-52488/sin^{2} \alpha[/mm] + [mm]294912/cos^{2} \alpha
[/mm]
>
>
> Damit wollte ich [mm]\alpha[/mm] errechnen und somit die Aufgabe
> lösen, aber wieder kommt für die Gleichung kein sinnvolles
> ergebnis raus...
>
Ich beschreibe mal die Aufgabe anders:
Du sollst eine Gerade finden, die durch einen bestimmten Punkt (768|324) verläuft und deren Steigung (dargestellt durch den Winkel [mm] \alpha) [/mm] variabel ist.
Aber du weißt, dass die Gerade die beiden Achsen in A und B schneidet und dass deren Abstand möglichst kurz sein soll.
Du kennst bestimmt die Punkt-Steigungs-Form einer Geradengleichung?
$g(x)=m(x-768)+324$
Die Punkte A und B kannst du finden, indem du für A $g(0)= [mm] y_A$ [/mm] und für B [mm] $g(x_B)=0$ [/mm] berechnest.
Das $m$ bleibt als die große Unbekannte vorläufig in den Werten.
Nun "berechnest" du den Abstand von A nach B (immer noch mit $m$, aber als einziger Variablen).
Den Abstand betrachtest du nun als Funktion von $m$, deren Minimum du finden sollst.
Kannst du nach diesem Kochrezept weiterrechnen?
Und uns deine Ergebnisse zeigen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:22 Mo 15.11.2004 | | Autor: | loona |
DANKE!
So habe ich das noch nicht gesehen!
Aber das man über die Nullstellen (A,B) "rechnet" ist mir jetzt sehr einleuchtend!
Danke!, werd´s noch am Abend probieren und hoffentlich die Lösung präsentieren können!
mfg!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:44 Mo 15.11.2004 | | Autor: | loona |
Irgendwie mach ich da ständig was falsch....
Ich habe jetzt über die Geradengleichung [mm] g(0)=y_{a} [/mm] = -768m+324
und für [mm] g(x_{b})=0 [/mm] für [mm] x_{b}=768-324/m [/mm] erhalten.
Dadurch die Koordinaten für A (0/-768m+324) und für B(768-(324/m) / 0).
Zur Errechnung der Distanz hab ich Pkt B von A subtrahiert sodass ich für [mm] \overrightarrow{AB}=(-768+(324/m)/-768m+324) [/mm] erhalte.
Davon den Pythagoras ergibt [mm] \overrightarrow{AB}= \wurzel{((-768+324/m)^{2}+(-768m+324)^{2})}.
[/mm]
Wenn ich aber davon die Ableitung bilden möchte, ergibt dies wieder eine ziemlich "unmögliche" funktion (mit Rechner TI-92 probiert).
Bitte um Rat....
mfg!
*an sich zweifelnd*
l [mm] \infty [/mm] na
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Hi Ioona!
Brauchst nicht verzweifeln, bist schon auf'm richtigen Weg.
[mm] y_{a}(m)= [/mm] -768m+324
[mm] x_{b}(m)=768-\frac{324}{m}=-\frac{1}{m}(-768m+324)=-\frac{1}{m}y_{a}(m)
[/mm]
Also:
[mm] \overrightarrow{AB}(m) [/mm] = [mm] \wurzel{{y_{a} (m)}^2+\frac{1}{m^2}{y_{a} (m)}^2}=y_{a}(m)\wurzel{1+\frac{1}{m^2}}
[/mm]
die Ableitung von [mm] \overrightarrow{AB}(m) [/mm] ist dann:
[mm] y_{a}'(m)*\wurzel{1+\frac{1}{m^2}} [/mm] - [mm] y_a(m)\frac{1}{\wurzel{1+\frac{1}{m^2}}}\frac{1}{m^3}=\frac{y_{a}'(m)(1+\frac{1}{m^2})m^3-y_{a}(m)}{...}
[/mm]
Für die Nullstellen braucht man nur noch den Zähler (m darf ja eh nicht 0 sein).
Also bleibt:
[mm] y_{a}'(m)(1+\frac{1}{m^2})m^3-y_{a}(m)=-768m^3-768m+768m-324=-768m^3-324=0
[/mm]
[mm] \gdw m^3= -\frac{27}{64}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] m = -0,75
Jetzt müsstest du noch zeigen, dass bei m=-0,75 ein Minimum liegt.
mfg Verena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 Di 16.11.2004 | | Autor: | loona |
Gelobt sei dieses Forum!!
Danke verena, jetzt schimmert es mir durch wie ich dies zu lösen habe!
War mir eine grosse Hilfe!
mfg!
stefan
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