Extremwert/Sattelpunkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:37 So 20.12.2009 | | Autor: | xdudux |
| Aufgabe |
Gegeben ist die Funktion
f (x,y) = x³ + 6xy + 3 y² - 9 x.
Untersuchen Sie f auf Extremwerte und Sattelpunkte. Überprüfen Sie gegebenfalls, um welche Art von Extremwert, Maximum oder Minimum, es sich handelt. |
diese aufgabe habe ich komplett gelöst, jedoch hab ich ein problem bei einer lösung, denn die sagt laut regel nichts aus... schon mal danke für die hilfe :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben ist die Funktion
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> f (x,y) = x³ + 6xy + 3 y² - 9 x.
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> Untersuchen Sie f auf Extremwerte und Sattelpunkte.
> Überprüfen Sie gegebenfalls, um welche Art von
> Extremwert, Maximum oder Minimum, es sich handelt.
> diese aufgabe habe ich komplett gelöst, jedoch hab ich
> ein problem bei einer lösung, denn die sagt laut regel
> nichts aus...
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Dann wirst Du andere Methoden als diese Regel bemühen müssen, z.B. Untersuchungen in der Umgebung des betreffenden Punktes.
Bedenke: wir sitzen nicht an Deinem Schreibtisch und können nur ansatzweise ahnen, was Du getan hast und was Du mit "laut Regel" meinst.
Versuche bitte, Dein Anliegen nachvollziehbar zu formulieren, was hier beinhaltet, daß Du Deinen Lösungsweg in den wesentlichen Schritten schilderst.
Sonst müssen wir die Aufgabe ja ganz allein für uns rechnen.
Gruß v. Angela
schon mal danke für die hilfe :)
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:38 So 20.12.2009 | | Autor: | xdudux |
f (x,y) = x³ + 6xy + 3y² - 9x
f (x) = 3x² + 6y - 9 f (y) = 6y + 6x
f (xx) = 6x f (yy) = 6
f (xy) = 6 f (yx) = 6
MNF
f (x) = 3x² + 6y -9
= -b (+-) Wurzel aus b² - 4ac
2a
= -6 (+-) Wurzel aus 6² - 4 x 3 x (9)
2 x 3
= -6 (+-) 12
6
x1= 1 x2= -3
f (y) = 6y + 6x
f (y) = 6y + 6 x 1
-6 = 6y
y1 = -1
f (y) = 6y + 6 x 3
= 6y - 18
+ 18 = 6y I :6
3 = y
y2 = 3
Sattelpunkt
Punkt fxx fyy fxy Entscheidung
=36 =36
1/-1 6 6 6 keine Aussage möglich
-3/3 -18 6 6 Sattelpunkt
=-108 =36
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Hallo xduxux,
das ist, gelinde gesagt, schlecht lesbar. Wir haben hier einen leistungsstarken Formeleditor, der auch ziemlich leicht zu bedienen ist. Eingabehilfen stehen unter dem Eingabefenster, vielleicht musst Du aber (einmalig) noch das blaue [+] am Ende der Zeile Eingabehilfen anklicken.
Zur Sache:
> f (x,y) = x³ + 6xy + 3y² - 9x
>
> f (x) = 3x² + 6y - 9 f (y) = 6y + 6x
>
> f (xx) = 6x f (yy) = 6
>
> f (xy) = 6 f (yx) = 6
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bis hier kann ich das auch noch lesen. Obwohl [mm] f_x, f_y, f_{xx} [/mm] und [mm] f_{xy} [/mm] schöner gewesen wären. Übrigens ist immer [mm] f_{xy}=f_{yx}. [/mm] Das weißt Du sicher.
Tipp1: [mm] x^3 [/mm] schreibt man hier x^{3} oder, weil der Exponent nur aus einem Zeichen besteht, sogar einfach x^3. So kannst Du auch Exponenten eingeben, die Deine MS-ASCII-Tabelle nicht vorsieht, z.B. [mm] e^{\wurzel{(4\\ln{x}+1)^3}}
[/mm]
Tipp2: [mm] f_{x} [/mm] schreibt man hier f_{x}. Auch hier können die geschweiften Klammern wegbleiben, wenn der tiefgestellte Index nur aus einem Zeichen besteht.
> MNF
Äh, was heißt das? Mit nassen Füßen? Mehrheitlich nette Formulierung? Mathematische Nullnummern-Funktion?
> f (x) = 3x² + 6y -9
>
> = -b (+-) Wurzel aus b² - 4ac
> 2a
Ach so. Mitternachtsformel. Die konnte ich noch nie. Mir hat immer p/q gereicht. Wenn ich beide so vergleiche, komme ich zu dem einfachen Schluss: das ist falsch, was Du da schreibst.
Das sage ich, obwohl ich es auch nicht wirklich lesen kann.
Vielleicht meinst Du ja [mm] x_{1,2}=\bruch{-b\pm \wurzel{b^2-4ac}}{2a}
[/mm]
Das wäre ja richtig.
Klick mal auf die Formel, dann siehst Du, wie man sie eingibt.
> = -6 (+-) Wurzel aus 6² - 4 x 3 x (9)
> 2 x 3
>
> = -6 (+-) 12
> 6
>
> x1= 1 x2= -3
Ja, habe ich auch raus.
Ab hier verstehe ich allerdings nicht mehr, was Du da gerade rechnest. Etwas mehr "Design" wäre hilfreich, wie auch ein paar Worte zur Erläuterung. Muss ja nicht unbedingt auf Deutsch sein, obwohl Du dann schneller Antwort bekommst.
> f (y) = 6y + 6x
>
> f (y) = 6y + 6 x 1
> -6 = 6y
> y1 = -1
>
>
> f (y) = 6y + 6 x 3
> = 6y - 18
> + 18 = 6y I :6
> 3 = y
>
> y2 = 3
>
>
> Sattelpunkt
>
> Punkt fxx fyy fxy Entscheidung
> =36 =36
> 1/-1 6 6 6 keine Aussage möglich
> -3/3 -18 6 6 Sattelpunkt
> =-108 =36
Falls das eine Tabelle werden sollte, hat Dir unsere Text- und Formelerkennung einen Strich durch die Rechnung gemacht. Tabellen sind eher was für Fortgeschrittene in [mm] L^AT_E\chi, [/mm] oder Du stellst sie als Grafik ein.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:29 Mo 21.12.2009 | | Autor: | xdudux |
> Hallo xduxux,
>
> das ist, gelinde gesagt, schlecht lesbar. Wir haben hier
> einen leistungsstarken Formeleditor, der auch ziemlich
> leicht zu bedienen ist. Eingabehilfen stehen unter dem
> Eingabefenster, vielleicht musst Du aber (einmalig) noch
> das blaue [+] am Ende der Zeile Eingabehilfen anklicken.
>
> Zur Sache:
> > f (x,y) = x³ + 6xy + 3y² - 9x
> >
> > f (x) = 3x² + 6y - 9 f (y) = 6y + 6x
> >
> > f (xx) = 6x f (yy) = 6
> >
> > f (xy) = 6 f (yx) = 6
>
> Bis hier kann ich das auch noch lesen. Obwohl [mm]f_x, f_y, f_{xx}[/mm]
> und [mm]f_{xy}[/mm] schöner gewesen wären. Übrigens ist immer
> [mm]f_{xy}=f_{yx}.[/mm] Das weißt Du sicher.
> Tipp1: [mm]x^3[/mm] schreibt man hier [mm][code]x^{3}[/code][/mm] oder, weil
> der Exponent nur aus einem Zeichen besteht, sogar einfach
> [mm][code]x^3[/code].[/mm] So kannst Du auch Exponenten eingeben,
> die Deine MS-ASCII-Tabelle nicht vorsieht, z.B.
> [mm]e^{\wurzel{(4\\ln{x}+1)^3}}[/mm]
> Tipp2: [mm]f_{x}[/mm] schreibt man hier [mm][code]f_{x}[/code].[/mm] Auch
> hier können die geschweiften Klammern wegbleiben, wenn der
> tiefgestellte Index nur aus einem Zeichen besteht.
>
> > MNF
> Äh, was heißt das? Mit nassen Füßen? Mehrheitlich
> nette Formulierung? Mathematische Nullnummern-Funktion?
:D ja das stimmt sehr schlecht formuliert.. aber ich bin neu hier und hab keine Ahnung gehabt wie man diese Formeln eingibt. Danke.. :)
>
> > f (x) = 3x² + 6y -9
> >
> > = -b (+-) Wurzel aus b² - 4ac
> > 2a
> Ach so. Mitternachtsformel. Die konnte ich noch nie. Mir
> hat immer p/q gereicht. Wenn ich beide so vergleiche, komme
> ich zu dem einfachen Schluss: das ist falsch, was Du da
> schreibst.
> Das sage ich, obwohl ich es auch nicht wirklich lesen
> kann.
>
> Vielleicht meinst Du ja [mm]x_{1,2}=\bruch{-b\pm \wurzel{b^2-4ac}}{2a}[/mm]
>
> Das wäre ja richtig.
>
> Klick mal auf die Formel, dann siehst Du, wie man sie
> eingibt.
>
> > = -6 (+-) Wurzel aus 6² - 4 x 3 x (9)
> > 2 x 3
> >
> > = -6 (+-) 12
> > 6
> >
> > x1= 1 x2= -3
>
> Ja, habe ich auch raus.
>
okay das ist super:) und ja damit meine ich die Mitternachtsformel ^^
> Ab hier verstehe ich allerdings nicht mehr, was Du da
> gerade rechnest. Etwas mehr "Design" wäre hilfreich, wie
> auch ein paar Worte zur Erläuterung. Muss ja nicht
> unbedingt auf Deutsch sein, obwohl Du dann schneller
> Antwort bekommst.
Hier löse ich die beiden Gleichungen bzw. setzte ich die beiden x Werte ein die ich zuvor ausgerechnet hatte.... damit ich die y Werte rausbekommen kann...
>
> > f (y) = 6y + 6x
> >
> > f (y) = 6y + 6 * 1
> > -6 = 6y
> > y1 = -1
> >
> >
> > f (y) = 6y + 6 * 3
> > = 6y - 18
> > + 18 = 6y I :6
> > 3 = y
> >
> > y2 = 3
> >
> >
> > Sattelpunkt
> >
> > Punkt fxx fyy fxy Entscheidung
> > =36 =36
> > 1/-1 6 6 6 keine Aussage möglich
> > -3/3 -18 6 6 Sattelpunkt
> > =-108 =36
> Falls das eine Tabelle werden sollte, hat Dir unsere Text-
> und Formelerkennung einen Strich durch die Rechnung
> gemacht. Tabellen sind eher was für Fortgeschrittene in
> [mm]L^AT_E\chi,[/mm] oder Du stellst sie als Grafik ein.
ja das sollte eine Tabelle sein aber leider erscheint sie nicht so wie ich es eingebe :) :S Ich habe hier die Punkte 1/-1 und -3/3 .
Bei P1 (1/-1) ergibt sich für [mm] f_{xx} [/mm] 6 für [mm] f_{yy} [/mm] 6 und für [mm] f_{xy} [/mm] 6 und da hier [mm] f_{xx} [/mm] * [mm] f_{yy} [/mm] = [mm] f_{xy} [/mm] ist , ist keine Aussage zu treffen, diese Regel habe ich im Internet nachgelesen.
Und bei Punkt2 (-3/3) ergibt sich für [mm] f_{xx} [/mm] -18 für [mm] f_{yy} [/mm] 6 und für [mm] f_{xy} [/mm] 6 und das deuted auf einen Sattelpunkt hin, da die Multiplikation aus [mm] f_{xx} [/mm] * [mm] f_{yy} [/mm] kleiner ist als [mm] f_{xy}²
[/mm]
>
> Grüße
> reverend
Vielen vielen Dank, wäre echt super wenn du mir das heute noch korrigieren könntest=) liebe Grüße xdudux
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> ja das sollte eine Tabelle sein aber leider erscheint sie
> nicht so wie ich es eingebe :) :S Ich habe hier die Punkte
> 1/-1 und -3/3 .
>
> Bei P1 (1/-1) ergibt sich für [mm]f_{xx}[/mm] 6 für [mm]f_{yy}[/mm] 6 und
> für [mm]f_{xy}[/mm] 6 und da hier [mm]f_{xx}[/mm] * [mm]f_{yy}[/mm] = [mm]f_{xy}[/mm] ist ,
> ist keine Aussage zu treffen, diese Regel habe ich im
> Internet nachgelesen.
>
> Und bei Punkt2 (-3/3) ergibt sich für [mm]f_{xx}[/mm] -18 für
> [mm]f_{yy}[/mm] 6 und für [mm]f_{xy}[/mm] 6 und das deuted auf einen
> Sattelpunkt hin, da die Multiplikation aus [mm]f_{xx}[/mm] * [mm]f_{yy}[/mm]
> kleiner ist als [mm]f_{xy}²[/mm]
Hallo,
Deine Ergebnisse sind richtig.
Eventuell mußt Du jetzt noch den Punkt (1/-1) mit anderen Methoden untersuchen, kommt halt drauf an, was Ihr so gemacht habt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Mo 21.12.2009 | | Autor: | xdudux |
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> > ja das sollte eine Tabelle sein aber leider erscheint sie
> > nicht so wie ich es eingebe :) :S Ich habe hier die Punkte
> > 1/-1 und -3/3 .
> >
> > Bei P1 (1/-1) ergibt sich für [mm]f_{xx}[/mm] 6 für [mm]f_{yy}[/mm] 6 und
> > für [mm]f_{xy}[/mm] 6 und da hier [mm]f_{xx}[/mm] * [mm]f_{yy}[/mm] = [mm]f_{xy}[/mm] ist ,
> > ist keine Aussage zu treffen, diese Regel habe ich im
> > Internet nachgelesen.
> >
> > Und bei Punkt2 (-3/3) ergibt sich für [mm]f_{xx}[/mm] -18 für
> > [mm]f_{yy}[/mm] 6 und für [mm]f_{xy}[/mm] 6 und das deuted auf einen
> > Sattelpunkt hin, da die Multiplikation aus [mm]f_{xx}[/mm] * [mm]f_{yy}[/mm]
> > kleiner ist als [mm]f_{xy}²[/mm]
>
> Hallo,
>
> Deine Ergebnisse sind richtig.
>
> Eventuell mußt Du jetzt noch den Punkt (1/-1) mit anderen
> Methoden untersuchen, kommt halt drauf an, was Ihr so
> gemacht habt.
>
> Gruß v. Angela
was für eine Methode könntest du mir vorgeschlagen?? ich komm grad auf keine andere Lösung?? Danke :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Mo 21.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Betrachte f(x,-x)
Zeige: f(x,-x)> f(1,1) für x [mm] \in [/mm] (0,1) und f(x,-x)<f(1,-1) für x [mm] \in(1,2)
[/mm]
Dann hat f in (1,-1) kein Extremum
FRED
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