Extremwert mehrere Variablen < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 So 02.05.2010 | | Autor: | Alice_S |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo :)
ich maturiere dieses Jahr und habe als Spezialgebiet Extremwertaufgaben. Nun hat mir mein Professor kürzlich mitgeteilt, dass ich "Partielle Ableitung" auch bearbeiten soll.
Mit Hilfe meines Mathematikbuches und des Internets habe ich herausgefunden dass man durch partielle ableitung funktionen mit mehreren Variablen ableiten kann indem man alle variablen bis auf die, nach welcher man ableitet als konstant ansieht.
nun frage ich mich in bezug auf extremwertproblemen ob man durch diese art der ableitung einfach keine nebenbedingungen mehr aufstellen muss und dadurch schneller ist oder ob es aufgaben gibt die mit nebenbedingungen gelöst werden müssen und solche, die durch partielle ableitung gelöst werden müssen?
(ich hoffe theoretische fragen sind auch in ordnung, bin neu hier ;).)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 So 02.05.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
also mit Gleichungen einer Variablen hast Du Dich ja beschäftigt. Da gilt
Notwendig für einen Extremwert ist [mm] f'(x_0)=0. [/mm]
Die Entscheidung darüber ob ein Maximum oder Minimum vorliegt wird über die zweite Ableitung getroffen. [mm] f''(x_0)<0 \Rightarrow [/mm] es liegt ein Maximum bei [mm] x_0 [/mm] vor. [mm] f''(x_0)>0 \Rightarrow [/mm] es liegt ein Minimum bei [mm] x_0 [/mm] vor.
Bei Funktionen mit mehreren Variblen gilt folgendes
Der Gradient der Funktion f(x) muss an der Stelle [mm] x_0 [/mm] gleich Null sein. D.h alle partiellen Ableitungen müssen an der Stelle [mm] x_0 [/mm] verschwinden. In Formeln [mm] \bruch{\partial{f(x_i)}}{\partial{x_i}}=0 [/mm] für i=1..n und n=Anzahl der Variablen.
Über Maxima und Minima wird hier über die Definitheit der Matrix der partiellen zweiten Ableitungen entschieden.
Es gilt (im 2-dimesionalen Fall)
Ein relatives Maximum liegt vor wenn [mm] f_{xx}*f_{yy}-f_{xy}^2>0 [/mm] und [mm] f_{xx}<0 [/mm] gilt.
Ein relatives Minimum liegt vor wenn [mm] f_{xx}*f_{yy}-f_{xy}^2>0 [/mm] und [mm] f_{xx}>0 [/mm] gilt.
Nebenbedingungen im mehrdimensionalen Fall werden über Lagrange Multiplikatoren gelöst.
Vielleicht hilft das ja ein wenig.
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