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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Mo 01.09.2008 | | Autor: | cKy |
| Aufgabe | [mm] f(x,y):=y^2 [/mm] mit der Nebenbedingung [mm] g(x,y)=y-x^2+1
[/mm]
Hier sollen die Extreme unter der Nebenbedingung bestimmt werden. |
[mm] L=y^2+\lambda(y-x^2+1)
[/mm]
Die partiellen Ableitungen ergeben:
[mm] Lx(x,y,\lambda)= -2x*\lambda
[/mm]
[mm] Ly(x,y,\lambda)= 2y+\lambda
[/mm]
[mm] L\lambda(x,y,\lambda)= y-x^2+1
[/mm]
Notwendig ist, dass der Gradient = 0 ist, also:
[mm] Lx(x,y,\lambda):= -2x\lambda [/mm] = 0
[mm] Ly(x,y,\lambda):= 2y+\lambda [/mm] = 0
[mm] L\lambda(x,y,\lambda):= y-x^2+1 [/mm] = 0
Ab hier weiss ich nicht mehr so richtig weiter.
Normal bin ich es gewohnt, den [mm] \lambda [/mm] Multiplikator zu entfernen, indem ich die beiden ersten partiellen Ableitungen nach [mm] \lambda [/mm] aufloese, diese gleichsetze und nach x oder y aufloese und diese in die letzte partielle Ableitung einsetze.
[mm] -2x\lambda [/mm] = 0 => [mm] \lambda=0/-2x [/mm] => [mm] \lambda=0
[/mm]
Damit in der anderen partiellen Ableitung [mm] \lambda=0 [/mm] wird, muss notwendigerweise y=0 gelten.
[mm] 2y+\lambda [/mm] = 0 => [mm] \lambda=-2y [/mm] = [mm] \lambda [/mm] =0 => y=0
Ist das so richtig?
Denn dann gaebe es ja Punkte mit (x,0) oder (0,y), die [mm] L\lambda(x,y,\lambda):= y-x^2+1 [/mm] = 0 erfuellen und potentielle Kunden meiner Extremstelle sind, oder?
Quasi fuer (x,0) => (-1,0) und (1,0) ; fuer (0,y) =>(0,-1)
Stimmt diese Folgerung?
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm]f(x,y):=y^2[/mm] mit der Nebenbedingung [mm]g(x,y)=y-x^2+1[/mm]
>
Hallo,
sicher sollte die NB [mm] g(x,y)=y-x^2+1=0 [/mm] heißen
> Hier sollen die Extreme unter der Nebenbedingung bestimmt
> werden.
> [mm]L=y^2+\lambda(y-x^2+1)[/mm]
>
> Die partiellen Ableitungen ergeben:
>
> [mm]Lx(x,y,\lambda)= -2x*\lambda[/mm]
> [mm]Ly(x,y,\lambda)= 2y+\lambda[/mm]
>
> [mm]L\lambda(x,y,\lambda)= y-x^2+1[/mm]
>
> Notwendig ist, dass der Gradient = 0 ist, also:
>
> [mm]Lx(x,y,\lambda):= -2x\lambda[/mm] = 0
> [mm]Ly(x,y,\lambda):= 2y+\lambda[/mm] = 0
> [mm]L\lambda(x,y,\lambda):= y-x^2+1[/mm] = 0
>
> Ab hier weiss ich nicht mehr so richtig weiter.
> Normal bin ich es gewohnt, den [mm]\lambda[/mm] Multiplikator zu
> entfernen, indem ich die beiden ersten partiellen
> Ableitungen nach [mm]\lambda[/mm] aufloese, diese gleichsetze und
> nach x oder y aufloese und diese in die letzte partielle
> Ableitung einsetze.
Ja, das wäre ein sinnvolle Vorgehen.
Ich würd hier eigentlich eher die 2. Gleichung nach [mm] \lambda [/mm] auflösen, aber Dein Weg geht auch, und ich werde mich nun mit Deinem beschäftigen.
>
> [mm]-2x\lambda[/mm] = 0 => [mm]\lambda=0/-2x[/mm] => [mm]\lambda=0[/mm]
Hier machst Du einen sehr beliebten Fehler: wenn Du dividierst, mußt Du sicherstellen, daß Du nicht durch Null dividierst, und das versäumst Du. Wenn nämlich x=0 ist, ist [mm] \lambda=0/-2x [/mm] gar nicht definiert.
Also: [mm] -2x\lambda [/mm] = 0 => [mm] \lambda=0 [/mm] oder x=0.
(Ganz ohen Dividieren kann man sich das überlegen, wenn man weiß, daß ein Produkt nur =0 ist, wenn einer der Faktoren =0 ist.)
Du mußt nun in der Folge also die beiden Fälle [mm] \lambda=0 [/mm] und x=0 untersuchen.
Die Untersuchung für y=0 hast Du durchgeführt.
Aus der zweiten Gleichung erhieltest Du y=0.
Hiermit gehe nun in die dritte Gleichung: [mm] 0=0-x^2+1=-x^2+1 [/mm] ==> x=1 0der x=-1.
Damit sind (-1,0) und (1,0) Extremwertkandidaten.
Mir ist nicht ganz klar, wie Du dann den Punkt (0, -1) gewonnen hast, aus dem was Du schreibst, geht das nicht hervor.
Die Untersuchung mußte man nun fortsetzen mit x=0.
Einsetzen in die zweite Gleichung liefert keine neue information, einsetzen in die dritte Gleichung liefert [mm] y-0^2+1=0, [/mm] und damit Dein Ergebnis y=-1, also den Punkt (0 , -1).
Rechne nun die Funktionswerte für die Punkte aus, dann kennst Du die Extrema.
>
> Damit in der anderen partiellen Ableitung [mm]\lambda=0[/mm] wird,
> muss notwendigerweise y=0 gelten.
>
> [mm]2y+\lambda[/mm] = 0 => [mm]\lambda=-2y[/mm] = [mm]\lambda[/mm] =0 => y=0
>
> Ist das so richtig?
> Denn dann gaebe es ja Punkte mit (x,0) oder (0,y), die
> [mm]L\lambda(x,y,\lambda):= y-x^2+1[/mm] = 0 erfuellen und
> potentielle Kunden meiner Extremstelle sind, oder?
> Quasi fuer (x,0) => (-1,0) und (1,0) ; fuer (0,y)
> =>(0,-1)
>
> Stimmt diese Folgerung?
> Danke!
In Wesentlichen ja.
Gruß v. Angela
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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