Extremwert mit Nebenbedingung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe folgendes Problem:
Aus einem Kreis mit dem Radius R wird ein Sektor herausgeschnitten und aus dem restlichen Teil der Kreisfläche ein Kegel zusammengeklebt. Bei welchem Winkel $ [mm] \delta [/mm] $ des auszuschneidenden Sektors wird das Kegelvolumen $v$ maximal? Wie groß ist dieses Volumen?
Das Kegelvolumen ist $ v = [mm] \bruch{1}{3} \pi r^2 [/mm] h $ wobei r = Radius des Kegelgrundbodens und h= Kegelhöhe.
Ich weiss jetzt nur nicht, wie ich daraus meine Nebenbedingung bilde?!
Mir ist klar, dass $ [mm] R=k=\wurzel{r^2 + h^2} [/mm] $ ist, wobei das k die Hypotenuse des Dreiecks ist, welches man mit r und h bilden kann.
Und mir ist klar, dass r=h bei einem Winkel von [mm] $\delta=45°$ist.
[/mm]
Wie geht man da formal vor, dass ich später meine Nebenbedingung habe und damit dann das Maximum finde?
lg Chris
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Du bist schon auf dem richtigen Weg. Aus der Volumenformel kannst du [mm]r^2[/mm] mit der Nebenbedingung [mm]r^2 + h^2 = R^2[/mm] eliminieren ([mm]R[/mm] fungiert ja hier als Parameter). Damit hast du [mm]V = V(h)[/mm] nur noch als Funktion von [mm]h[/mm] und kannst (in Abhängigkeit von [mm]R[/mm]) dasjenige [mm]h[/mm] ermitteln, für das das Volumen maximal wird. Und zu diesem gehört via Nebenbedingung wieder ein [mm]r[/mm]. Und jetzt beachte, daß der Umfang des Kegelgrundkreises zum Bogen des Kreissektors wird, aus dem der Kegel zusammengefaltet wird. Ist [mm]\mu[/mm] der Mittelpunktswinkel dieses Sektors im Bogenmaß, so gilt daher:
[mm]\mu R = 2 \pi r[/mm]
Hieraus kannst du [mm]\mu[/mm] und damit auch [mm]\delta = 2 \pi - \mu[/mm] berechnen.
Nachtrag:
Übrigens ergibt sich für [mm]r=h[/mm] nicht [mm]\delta = 45^{\circ}[/mm], sondern [mm]\delta \approx 105{,}4^{\circ}[/mm]
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