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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Do 17.01.2008 | | Autor: | iffets86 |
| Aufgabe | | Welcher Punkt des Graphen der Funktion f mit [mm] f(x)=x^2-1/x [/mm] hat vom Koordinatenursprung den kleinsten Abstand? |
Hallo, ich weiß das meine Funktion minimal werden muss...
Allerdings weiß ich nicht wie ich die Extremal-und die Nebenbedingung aufstelle. Kann mir jemand einen Tipp geben.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Do 17.01.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Den Abstand zwischen 2 Punkten berechnet man ja mit dem Pythagoras:
[mm] d(P_1,P_2)=\wurzel{(x_2-x_1)²+(y_2-y_1)²}.
[/mm]
In deinem Fall ist ein Punkt O(0|0) und der andere Punkt ist ein allgemeiner Kurvenpunkt [mm] P(a|a²-\bruch{1}{a}).
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 Do 17.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Teufel
> Hallo!
>
> Den Abstand zwischen 2 Punkten berechnet man ja mit dem
> Pythagoras:
>
> [mm]d(P_1,P_2)=\wurzel{(x_2-x_1)²+(y_2-y_1)²}.[/mm]
>
> In deinem Fall ist ein Punkt O(0|0) und der andere Punkt
> ist ein allgemeiner Geradenpunkt [mm]P(a|a²-\bruch{1}{a}).[/mm]
Nenn den Punkt P(a/f(a)) besser "Punkt auf der Funktion". Diese ist ja keine Gerade, das konnte zu Verwirrungen führen. Ansonsten ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 Do 17.01.2008 | | Autor: | Teufel |
Ah, danke, hab's verändert :P
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Do 17.01.2008 | | Autor: | iffets86 |
Das heißt ich soll jetzt rechnen:
d(P1/P2)=wurzel aus [mm] (a-0)^2-(a^2-1/a-0)^2
[/mm]
das zum Quadrat und Wurzel löst sich ja auf, also bleibt stehen: [mm] a-a^2+1/a
[/mm]
und dann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Do 17.01.2008 | | Autor: | Teufel |
Am besten du schreibst jetzt [mm] d(a)=\wurzel{(a-0)²+(a²-\bruch{1}{a}-0)²}, [/mm] weil die Differenzfunktion d jetzt vom Wert a abhängt :)
Ne, die Wurzel verschwindet nicht ganz.
[mm] d(a)=\wurzel{a²+(a^4-2a+\bruch{1}{a²})}, [/mm] da du ja eine binomische Formel auflösen musst.
Und vergiss es ganz schnell wieder, wenn du an [mm] \wurzel{a²+b²}=a+b [/mm] gedacht hast :) das trifft nur zu, wenn a oder b 0 ist, aber nicht allgemein.
Wenn du dann d(a) hast, musst du diese Funktion ableiten und ihr Minimum bestimmen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Do 17.01.2008 | | Autor: | iffets86 |
Kann ich dann jetzt die Wurzel ziehen... Nee oder?
Oder sollte ich vielleicht die Wurzel nur umschreiben:
[mm] d(a)=(a^2)^1/2+(a^4)^1/2-(2a)^1/2+(1/a^2)^1/2
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Do 17.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Nee, ich befürchte, du musst den Term mit der Wurzel ableiten.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Do 17.01.2008 | | Autor: | iffets86 |
Wäre das dann:
d'(a)=1/2Wurzel aus [mm] (a^2+a^4-2a+1/a^2)
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Do 17.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Wäre das dann:
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> d'(a)=1/2Wurzel aus [mm](a^2+a^4-2a+1/a^2)[/mm]
Nein, du brauchst die Kettenregel. Bei dir fehlt die innere Ableitung. Aber nutz doch mal den Formeleditor, dann werden solche Aufgaben auch deutlicher.
Also:
[mm] d'(a)=\bruch{1}{2\wurzel{a^{4}+a²-2a+\bruch{1}{a²}}}*\left[a^{4}+a²-2a+\bruch{1}{a²}\right]'
[/mm]
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Do 17.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Das passt so nicht
[mm] D(x)=\wurzel{(x_{2}-x_{1})²+(y_{2}-y_{1})²}
[/mm]
[mm] =\wurzel{(a-0)²+((a²-\bruch{1}{a})-0)²}
[/mm]
[mm] =\wurzel{a²+\green{(a²-\bruch{1}{a})²}}
[/mm]
Und der grün markierte Teil ist per binomischer Formel aufzulösen.
Dann fass mal den Term unter der Wurzel weitestgehend zusammen.
Ausserdem [mm] \wurzel{x²+y²}\ne\wurzel{x²}+\wurzel{y²}!!!!
[/mm]
Marius
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