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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:03 Mo 19.05.2008 | | Autor: | lilo |
| Aufgabe | | Einem Halbkreis mit dem Radius R ist ein Trapez einbeschrieben, dessen Grundlinie der Halbkreisdurchmesser ist. Bestimmen Sie die Basiswinkel des Trapezes so, daß der Flächeninhalt des Trapezes möglichst groß wird. |
Hallo alle zusammen....
meine Idee war die Aufgabe über d. trigonometrische Fkt. zu Lösen...leider ohne erfolg!
Ansatz:
A=[(a+b)/2]h
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] \cos \alpha=\bruch{b}{2r}\Rightarrow b=\cos \alpha\*2r
[/mm]
[mm] \sin \alpha= \bruch{h}{r}\Rightarrow h=\sin \alpha\*r
[/mm]
[mm] f(\alpha)=\bruch{2r+2\cos \alpha*r}{2}*\sin \alpha\*r
[/mm]
= [mm] r^{2}* (\sin \alpha [/mm] + [mm] \cos \alpha\*\sin \alpha\ [/mm] )
[mm] f'(\alpha)= r^{2}* (\cos \alpha [/mm] - [mm] \sin^2 \alpha +\cos ^2\alpha\ [/mm] )
UND jetzt?????????
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: TIF) [nicht öffentlich]
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Hallo lilo,
Du hast:
[mm] $A=\bruch{a+b}{2}*h$
[/mm]
wenn der Fußpunkt von h auf a x ist, dann kann man die Fläche des Trapezes in Abhängigkeit von x darstellen, mit
$h = [mm] \wurzel{R^2-x^2}$ [/mm] hast Du dann
[mm] $A=\bruch{a+b}{2}*\wurzel{R^2-x^2}$ [/mm] und
[mm] $A=\bruch{2R+x}{2}*\wurzel{R^2-x^2}$ [/mm]
Das musst Du nun ableiten und gleich Null setzen. Du erhältst eine quadratische Gleichung mit zwei Lösungen, wovon nur eine sinnvoll ist:
$x = [mm] -\bruch{R}{2}+\wurzel{\bruch{3}{4}}R \approx [/mm] 0,3660R$
Damit hast Du deine Unterteilung von a/2 (auf der positiven x-Achse) und kannst h ausrechnen (in Abhängigkeit von R) und dann über den arctan den Winkel [mm] \alpha [/mm] = 55,74°.
LG, Martinius
Edit: ich hatte da einen Rechenfehler in der Aufgabe. Es soll heißen:
[mm] $A=\bruch{2R+2*x}{2}*\wurzel{R^2-x^2}$ [/mm]
Der Winkel ist dann [mm] \alpha [/mm] = 60°.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Di 20.05.2008 | | Autor: | lilo |
danke für die schnelle antwort....
aber ich hätte noch ne frage.....was heisst den überhaupt basiswinkel ?
und warum rechne ich überhaupt alpha aus ? darf ich das machen ?
(!info! eine zeichnung gab es bei der aufgabenstellung nicht )
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Hallo lilo,
> danke für die schnelle antwort....
>
>
> aber ich hätte noch ne frage.....was heisst den überhaupt
> basiswinkel ?
>
> und warum rechne ich überhaupt alpha aus ? darf ich das
> machen ?
Du rechnest [mm] \alpha [/mm] aus, weil danach in der Aufgabenstellung gefragt ist.
> (!info! eine zeichnung gab es bei der aufgabenstellung
> nicht )
schau doch mal bei Wikipedia:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Trapez_(Geometrie)
Da steht unter anderem:
"Eine der beiden parallelen Seiten (meistens die längere) wird oft als Basis des Trapezes bezeichnet, und die beiden angrenzenden (im allgemeinen nicht parallelen) Seiten als Schenkel.
Ein Trapez ist gleichschenklig, wenn die zwei Innenwinkel an einer der parallelen Seiten gleich sind. Daraus folgt, dass auch die Innenwinkel an der anderen der parallelen Seiten gleich groß sind. Die beiden nicht notwendigerweise parallelen Seiten sind dann gleich lang."
Ich bin also davon ausgegangen, dass es sich um ein gleichschenkliges Trapez handelt, in welchem der Basis-Winkel [mm] \alpha [/mm] zwischen der Basis und einem Schenkel liegt - anders, als in deiner Zeichnung, die nur einen einzigen Spezialfall wiedergibt, bei dem die Schenkellänge = R ist. Auch der Winkel [mm] \alpha [/mm] ist bei dir nur in diesem Spezialfall gleich einem Basiswinkel.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Di 20.05.2008 | | Autor: | lilo |
ok ... wenn das alles seine richtigkeit hat werde ich das wohl akzeptieren müssen.
habe für
[mm] h=\wurzel{R^2-x^2} [/mm] = 0,9329 R rausbekommen
[mm] \arctan \bruch{h}{x} [/mm] ist bei mir 68,58° .... ???? *confused*
LG
LILO
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Hallo Lilo,
[mm] $x=\left(\wurzel{\bruch{3}{4}}-\bruch{1}{2}\right)R\approx [/mm] 0,3660R$
[mm] $h=\wurzel{R^2-x^2}\approx [/mm] 0,9306R$
[mm] $tan(\alpha)=\bruch{h}{R-x}\approx1,4679$
[/mm]
[mm] $\alpha [/mm] =arctan(1,4679) = 55,7354°$
Hast Du denn die Ableitung hinbekommen?
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 Di 20.05.2008 | | Autor: | lilo |
ja habe ich mit ach und krach hinbekommen ....
danke der nachfrage martinius...
vielen vielen dank für die hilfe!
bis bald .......... LILO .........
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:48 Di 20.05.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo Lilo,
überprüfe doch noch einmal, wo denn der Basiswinkel liegt. In deiner Zeichnung liegt er jedenfalls nicht dort, wo Du ihn eingezeichnet hast (siehe vorletzten Post von mir).
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Di 20.05.2008 | | Autor: | lilo |
demnach müsste die skizze so aussehen! RIGHT????
[Dateianhang nicht öffentlich]
:::::::: THX ::::: LILO ::::::::::
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:19 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo lilo!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !
Gruß
Loddar
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Hallo Lilo,
hoffentlich liest Du das noch. Mir ist ein Rechenfehler unterlaufen! Die Seite b soll 2x sein.
[mm] $A=\bruch{a+b}{2}*h$
[/mm]
[mm] $A=\bruch{2R+2x}{2}*\wurzel{R^2-x^2}$
[/mm]
[mm] $A=(R+x)*\wurzel{R^2-x^2}$
[/mm]
[mm] $A'=\wurzel{R^2-x^2}-(R+x)*\bruch{2x}{2*\wurzel{R^2-x^2}}=0$
[/mm]
[mm] $R^2-x^2-Rx-x^2=0$
[/mm]
[mm] $-2x^2-Rx+R^2=0$
[/mm]
[mm] $x^2+\bruch{R}{2}x-\bruch{R^2}{2}=0$
[/mm]
[mm] $x_1=\bruch{R}{2}$
[/mm]
[mm] $h=\wurzel{\bruch{3}{4}}R\approx [/mm] 0,8660R$
[mm] $tan(\alpha)=\bruch{h}{\bruch{1}{2}R}\approx [/mm] 1,7321$
[mm] $\alpha [/mm] = arctan(1,7321) = 60°$
Entschuldige bitte den Rechenfehler.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Mi 21.05.2008 | | Autor: | lilo |
Hallo martinius ...
Bin auch gerade nach hause geeilt um dir das zu schreiben !
eine frage noch ! ein freund hat die aufgabe doch mit trigonometrie gelöst und kommt auch auf 60°
was hälst du davon ?
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] h= R*\sin\alpha [/mm]
[mm] b= 2R*\cos\alpha [/mm]
[mm] a= 2R [/mm]
[mm] A=\bruch{2R+2R*\cos\alpha}{2}*R*\sin\alpha
[/mm]
[mm] A'(\alpha)=\cos\alpha+\cos^2\alpha-\sin^2\alpha
[/mm]
"trigonometrischer pythagoras"
[mm] \sin^2x+\cos^2x=1
[/mm]
nach [mm] -\sin^2x [/mm] umgestellt und in die gleichung eingesetzt
[mm] A'(\alpha)=\cos\alpha+2\cos^2\alpha-1
[/mm]
diese null gesetzt und mit pq formel gelöst!
aber der skizze nach hat er alpha oben rechts bestimmt, und sagt einfach, dass dieser gleich dem basiswinkel sei ....
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: TIF) [nicht öffentlich]
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Hallo Lilo,
> Hallo martinius ...
>
> Bin auch gerade nach hause geeilt um dir das zu schreiben
> !
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>
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> eine frage noch ! ein freund hat die aufgabe doch mit
> trigonometrie gelöst und kommt auch auf 60°
> was hälst du davon ?
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> [mm]h= R*\sin\alpha[/mm]
> [mm]b= 2R*\cos\alpha[/mm]
> [mm]a= 2R[/mm]
>
> [mm]A=\bruch{2R+2R*\cos\alpha}{2}*R*\sin\alpha[/mm]
> [mm]A'(\alpha)=\cos\alpha+\cos^2\alpha-\sin^2\alpha[/mm]
>
> "trigonometrischer pythagoras"
> [mm]\sin^2x+\cos^2x=1[/mm]
> nach [mm]-\sin^2x[/mm] umgestellt und in die gleichung eingesetzt
>
>
>
> [mm]A'(\alpha)=\cos\alpha+2\cos^2\alpha-1[/mm]
>
> diese null gesetzt und mit pq formel gelöst!
>
>
> aber der skizze nach hat er alpha oben rechts bestimmt, und
> sagt einfach, dass dieser gleich dem basiswinkel sei ....
>
Man kann den maximalen Flächeninhalt in der Tat über diesen Winkel, den dein Freund eingezeichnet hat berechnen, in Abhängigkeit von diesem Winkel.
Er ist aber i. a. nicht der Basiswinkel. (In diesem speziellen Fall ist er ausnahmsweise doch mit dem Basiswinkel identisch.)
Es ist in dieser Aufgabe reiner Zufall, dass die beiden Winkel übereinstimmen, da das von dir eingezeichnete Dreieck gleichseitig ist und daher 3 gleiche Winkel von 60° hat.
Wenn die beiden Winkel unterschiedlich wären, könnte man trotzdem aus dem von deinem Freund eingezeichneten Winkel den Basiswinkel errechnen, da man ja b/2 hat und h. Daher ist die Rechenmethode genauso geeignet.
LG, Martinius
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