Extremwertaufgabe < VK 37: Kurvendiskussionen < Schule < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Extremwertaufgabe:
Gegeben sei die Parabel mit der Gleichung [mm] y=-0,25x^2+6.
[/mm]
In den Ausschnitt der Ebene, der zwischen Parabel und x-Achse liegt, ist ein Rechteck
a) größten Umfangs b) größten Flächeninhalts einzubeschreiben.
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Die Aufgabe soll als Einstieg gedacht sein. Damit wollen wir die Thematik von Extremwertaufgaben beginnen. Am besten ihr lest euch erst einmal irgendwo eine Anleitung zu solchen Aufgaben durch, wenn ihr noch keine gerechnet haben solltet.
Ziel ist es immer, eine Zielbedingung und eine Nebenbedingung aufzustellen. Die Nebenbedingung muss dann so umgestellt werden, dass sie in die Zielbedingung eingesetzt werden kann, um eine Gleichung mit nur einer Variable zu bekommen. Diese Zielgleichung kann dann mit Hilfe der Differentialrechnung (also Ableitung) auf Extrema untersucht werden.
Bei der obigen Aufgabe darf davon ausgegangen werden, dass die Eckpunkte auf dem Graphen liegen
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Das ist meine allererste Extremwertaufgabe !
Um mir ein Bild des Funktionsgraphen zu machen, rechnete ich erstmal die Nullstellen der Funktion aus:
[mm] f(x)=-0.25x^2+6
[/mm]
[mm] f(x_0)=0=-0.25x^2+6 [/mm] ergibt zwei Schnittpunkte mit der x-Achse. Da wir nur den positiven Teil für die Lösung der Aufgabe benötigen nehmen wir nur die Nullstelle [mm] x_0 [/mm] = [mm] 2*\wurzel{6}.
[/mm]
Nun nehmen wir noch den Schnittpunkt der y-Achse dazu:
für x=0 erhalten wir f(0)=6
Im 1.Quadranten unterhalb der Parabel befindet sich die Ebene, in der wir nun die beiden gesuchten Rechtecke suchen müssen.
Aufgabe a) wir suchen ein Rechteck mit größtem Umfang, d.h. für den Umfang gilt U = 2x + 2f(x) = max
Als Nebenbedingung nehmen wir die Parabelgleichung
[mm] f(x)=-0.25x^2+6
[/mm]
für die Zielbedingung setzen wir die Nebenbedingung in den gesuchten maximalen Rechtecksumfang ein.
Wir nennen U = g(x) und schreiben
g(x)=2x +2f(x) = 2x + [mm] 2*(-0.25x^2+6) [/mm] oder besser
g(x)= [mm] -0.5x^2 [/mm] +2x +12 (Zielfunktion)
Wie wir in den Aufgaben der Differentialrechnung gelernt haben, erhält man das Maximum (=Extremwert), indem man die 1.Ableitung gleich Null setzt.
g'(x)=0= -x+2 und x=2 (=Seite des gesuchten Rechtecks)
um die 2.Rechteckseite zu bekommen, setzen wir x=2 in f(x) ein und erhalten
f(2)= -1+6 = 5
Das Rechteck mit dem größten Umfang hat die Seiten 2 und 5. Der Umfang beträgt also 14.
b) wir suchen ein Rechteck größten Flächeninhalts, für den gilt A = x*f(x) = max
Dies nehmen wir als Zielbedingung. Als Nebenbedingung nehmen wir wie in Aufgabe a) die Parabelgleichung
Wir nennen A = h(x) und haben folgende Funktion
h(x) = x*f(x) = [mm] x*(-0.25x^2+6) [/mm] oder besser
h(x) = [mm] -0.25x^3+6x [/mm] (Zielfunktion)
Erneut nehmen wir die 1.Ableitung, um das Maximum (=Extremwert) auszurechnen und setzen sie gleich Null.
[mm] h'(x)=0=-0.75x^2+6 [/mm] wir nehmen von den beiden Lösungen wieder nur den positiven x-Wert und erhalten x= [mm] 2*\wurzel{2}
[/mm]
nun brauchen wir nur noch x in f(x) einsetzen und erhalten
[mm] f(2*\wurzel{2})= -0.25*(2*\wurzel{2})^2 [/mm] +6
[mm] f(2*\wurzel{2})= [/mm] 4
Damit haben wir die beiden gesuchten Rechteckseiten. Der Flächeninhalt beträgt A=x*f(x)= [mm] 2*\wurzel{2} [/mm] * 4 = 8 [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Schachschorsch
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> Das ist meine allererste Extremwertaufgabe !
> Um mir ein Bild des Funktionsgraphen zu machen, rechnete
> ich erstmal die Nullstellen der Funktion aus:
>
> [mm]f(x)=-0.25x^2+6[/mm]
>
> [mm]f(x_0)=0=-0.25x^2+6[/mm] ergibt zwei Schnittpunkte mit der
> x-Achse. Da wir nur den positiven Teil für die Lösung der
> Aufgabe benötigen nehmen wir nur die Nullstelle [mm]x_0[/mm] =
> [mm]2*\wurzel{6}.[/mm]
> Nun nehmen wir noch den Schnittpunkt der y-Achse dazu:
>
> für x=0 erhalten wir f(0)=6
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Im 1.Quadranten unterhalb der Parabel befindet sich die
> Ebene, in der wir nun die beiden gesuchten Rechtecke suchen
> müssen.
>
> Aufgabe a) wir suchen ein Rechteck mit größtem Umfang, d.h.
> für den Umfang gilt U = 2x + 2f(x) = max
Achtung jedoch, du hast direkt y durch f(x) ersetzt, das wäre erst in der Nebenbedingung gekommen sprich du hast hier gleich zwei Schritte mit einmal gemacht ;)
Normalerweise müssten wir erst einmal herausfinden, dass y gleich f(x) ist, da die Eckpunkte des Rechteckes auf dem Graphen von f(x) liegen sollen.
>
> Als Nebenbedingung nehmen wir die Parabelgleichung
>
> [mm]f(x)=-0.25x^2+6[/mm]
>
> für die Zielbedingung setzen wir die Nebenbedingung in den
> gesuchten maximalen Rechtecksumfang ein.
> Wir nennen U = g(x) und schreiben
>
> g(x)=2x +2f(x) = 2x + [mm]2*(-0.25x^2+6)[/mm] oder besser
>
> g(x)= [mm]-0.5x^2[/mm] +2x +12 (Zielfunktion)
>
> Wie wir in den Aufgaben der Differentialrechnung gelernt
> haben, erhält man das Maximum (=Extremwert), indem man die
> 1.Ableitung gleich Null setzt.
>
> g'(x)=0= -x+2 und x=2 (=Seite des gesuchten
> Rechtecks)
an dieser Stelle könnte mit der zweiten Ableitung korrekterweise noch bewiesen werden, dass es ein MAXIMUM ist, denn es könnte sich ja auch um einen Tiefpunkt handeln, dann wäre der Umfang minimal. Hier ist zwar klar, dass ein minimaler Umfang quasi x=0 entspricht, aber bei anderen Funktionen, die eventuell eben nicht geradlinig sind sondern periodisch wäre es wichtig, sein Ergebnis daraufhin zu prüfen!
>
> um die 2.Rechteckseite zu bekommen, setzen wir x=2 in f(x)
> ein und erhalten
> f(2)= -1+6 = 5
>
> Das Rechteck mit dem größten Umfang hat die Seiten 2 und 5.
> Der Umfang beträgt also 14.
:) für die erste Extremwertaufgabe doch ganz gut :p
>
> b) wir suchen ein Rechteck größten Flächeninhalts, für den
> gilt A = x*f(x) = max
Auch hier wieder am besten nacheinander die Schritte ausführen, am Anfang ist die Zielfunktion A(x,y)=x*y und später mithilfe der Nebenbedingung schaffen wir die Verbindung zwischen y und f(x) (siehe oben)
>
> Dies nehmen wir als Zielbedingung. Als Nebenbedingung
> nehmen wir wie in Aufgabe a) die Parabelgleichung
>
> Wir nennen A = h(x) und haben folgende Funktion
>
> h(x) = x*f(x) = [mm]x*(-0.25x^2+6)[/mm] oder besser
>
> h(x) = [mm]-0.25x^3+6x[/mm] (Zielfunktion)
Damit ist die Zielfunktion A(x), finde ich zumindest schöner un einheitlicher :) Aus deiner Ausgangsfunktion mit zwei Parametern (x,y) ist eine Funktion mit nur einer Zuordnungsgröße (x) geworden, daher A(x)
>
> Erneut nehmen wir die 1.Ableitung, um das Maximum
> (=Extremwert) auszurechnen und setzen sie gleich Null.
>
> [mm]h'(x)=0=-0.75x^2+6[/mm] wir nehmen von den beiden Lösungen
> wieder nur den positiven x-Wert und erhalten x=
> [mm]2*\wurzel{2}[/mm]
>
> nun brauchen wir nur noch x in f(x) einsetzen und erhalten
>
> [mm]f(2*\wurzel{2})= -0.25*(2*\wurzel{2})^2[/mm] +6
>
> [mm]f(2*\wurzel{2})=[/mm] 4
>
> Damit haben wir die beiden gesuchten Rechteckseiten. Der
> Flächeninhalt beträgt A=x*f(x)= [mm]2*\wurzel{2}[/mm] * 4 = 8
> [mm]\wurzel{2}[/mm]
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> Schachschorsch
wunderbar
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