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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Dinker |
Welche regelmässige, vierseitige Pyramide mit der gegeben Seitenkante s hat das grösste Volumen? Geben Sie die Grundkante und die Höhe des Pyramiden an. (Die Grundfläche einer solchen Pyramide ist ein Quadrat, die Spitze befindet sich senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche.
So an die Arbeit.....
Ich verwende folgende Buchstaben:
a = Grundkante
h = Pyramidenhöhe
k = halbe Diagonale der Grundfläche
s = Seitenkante
Allgemeine Formel = [mm] (a^2 [/mm] * h)/3
k = [mm] \wurzel{2}/2 [/mm] * a
[mm] s^2 [/mm] = [mm] 1/2a^2 [/mm] + [mm] h^2
[/mm]
h = [mm] \wurzel{s^2-1/2a^2}
[/mm]
V = [mm] (a^2*\wurzel{s^2-1/2a^2})/3 [/mm] darf ich nun Hoch 2 rechnen
V = [mm] 1/3a^4s^2 [/mm] - [mm] 1/6a^6
[/mm]
V' = [mm] 4/3a^3s^2-a^5
[/mm]
0 = [mm] a^3(4/3s^2-a^2)
[/mm]
[mm] a^2 [/mm] = [mm] 4/3s^2
[/mm]
a = [mm] 2/(\wurzel{3})s
[/mm]
h = [mm] 1/3s^2
[/mm]
Wäre echt froh wenn mir jemand sagen könnte wo der oder die Fehler liegen
Besten Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:41 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Dinker |
Bitte reserviere nicht die Frage stundenlang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dinker!
Dafür, dass Du diese Aufgabe erst in 30 Tagen benötigst, zeigst Du hier nach einer halben(!) Stunde einige Ungeduld.
Schließlich willst Du bestimmt auch eine vernünftige (und nicht nur dahingeworfene) Antwort haben ...
Ich möchte hier auch an (unangebrachte) Erwartungshaltung erinnern.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Dinker |
Sorry...hab es eben schon erlebt, dass gewisse Personen unbewusst die Fragen blockiert haben
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Loddar |
.
... wozu M.Rex mit Sicherheit nicht gehört.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Mo 03.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
> .
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> ... wozu M.Rex mit Sicherheit nicht gehört.
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![[flowers]](/images/smileys/flowers.gif "[flowers]") Danke.
Marius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Mo 03.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Welche regelmässige, vierseitige Pyramide mit der gegeben
> Seitenkante s hat das grösste Volumen? Geben Sie die
> Grundkante und die Höhe des Pyramiden an. (Die Grundfläche
> einer solchen Pyramide ist ein Quadrat, die Spitze befindet
> sich senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche.
>
>
> So an die Arbeit.....
> Ich verwende folgende Buchstaben:
> a = Grundkante
> h = Pyramidenhöhe
> k = halbe Diagonale der Grundfläche
> s = Seitenkante
>
> Allgemeine Formel = [mm](a^2[/mm] * h)/3
> k = [mm]\wurzel{2}/2[/mm] * a
> [mm]s^2[/mm] = [mm]1/2a^2[/mm] + [mm]h^2[/mm]
Das passt nicht. [mm] s²=\red{\left(}\bruch{1}{2}a\red{\right)}^{2}+\green{k²}
[/mm]
> h = [mm]\wurzel{s^2-1/2a^2}[/mm]
> V = [mm](a^2*\wurzel{s^2-1/2a^2})/3[/mm] darf ich nun Hoch 2
> rechnen
Darfst du, dann steht da aber [mm] V^{\red{2}}=...
[/mm]
> V = [mm]1/3a^4s^2[/mm] - [mm]1/6a^6[/mm]
> V' = [mm]4/3a^3s^2-a^5[/mm]
> 0 = [mm]a^3(4/3s^2-a^2)[/mm]
> [mm]a^2[/mm] = [mm]4/3s^2[/mm]
> a = [mm]2/(\wurzel{3})s[/mm]
> h = [mm]1/3s^2[/mm]
>
> Wäre echt froh wenn mir jemand sagen könnte wo der oder die
> Fehler liegen
Fangen wir mal ganz von vorne an.
Für das Volumen V der Pyramide brauchst du a und h, du hast aber "nur" s.
Die Diagonale des Quadrates nenne ich mal d
Dann gilt: [mm] V=\bruch{1}{3}a²*h
[/mm]
Jetzt braucsht du einen Zusammenhang zwischen a und h, indem maximal noch s vorkommt.
Die Diagonale des Quadrates nenne ich mal d
Es gilt: a²+a²=d²
also d²=2a²
Und jetzt: [mm] \left(\bruch{d}{2}\right)^{2}+h²=s²
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{d²}{4}+h²=s²
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{2a²}{4}+h²=s²
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{a²}{2}=s²-h²
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] a²=2s²-2h²
Das ganze kann ich in die Volumenformel einsetzen
[mm] V=\bruch{1}{3}*a²*h
[/mm]
[mm] \gdw V(h)=\bruch{1}{3}*(2s²-2h²)*h=\bruch{2s²}{3}*h-\bruch{2}{3}*h³
[/mm]
Das ist die Volumenformel, von der du jetzt das [mm] h_{opt} [/mm] bestimmen sollst, das das Volumen maximal ist.
Also:
[mm] V'(h_{opt})=0 [/mm] und [mm] V''(h_{opt})<0
[/mm]
Damit kannst du dann auch die Seitenkante [mm] a_{opt}=\wurzel{2s²-2h_{opt}²} [/mm] bestimmen und das Maximale Volumen [mm] V_{Max}=V(h_{opt})
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Dinker |
v = [mm] \bruch{2s}{3}\cdot{}h-\bruch{2s}{3}\cdot{}h³ [/mm] $
also dann wäre h = [mm] 1/(\wurzel{3})
[/mm]
verwirrt mich
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> v = [mm]\bruch{2s}{3}\cdot{}h-\bruch{2s}{3}\cdot{}h³[/mm] $
>
> also dann wäre h = [mm]1/(\wurzel{3})[/mm]
>
> verwirrt mich
Hallo,
kannst Du genauer sagen, warum Dich das verwirrt?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:12 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Dinker |
Ich find es nicht gut, dass ihr meinen Lösungsweg weggeworfen habt und nach eurem Sinn einen Lösungsweg aufzustellen.....es wäre doch viel sinnvoller, an meiner Idee (sofern sie richtig ist) festzuhalten und darauf aufzubauen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Dinker |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Man ich seh es glaub nicht mehr so ganz.....
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Infinit |
In der vorletzten Zeile ist beim Umstellen ein Quadrat beim a-Term verlorengegangen, weswegen auch die nächste Zeile nicht mehr stimmt.
VG,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dinker!
Du musst die Gleichung [mm] $\left[V^2(a)\right]' [/mm] \ = \ 0$ nach [mm] $\red{a} [/mm] \ = \ ...$ umstellen (und nicht nach $s \ = \ ...$ ).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Dinker |
ja stimmt
aber kann das Resultat nicht a = [mm] (2/\wurzel{3})s [/mm] sein?
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> ja stimmt
>
>
> aber kann das Resultat nicht a = [mm](2/\wurzel{3})s[/mm] sein?
Hallo,
doch, das Ergebnis sieht richtig aus.
Es deckt sich auch übrigens auch mit dem Ergebnis, welches man mit M.Rex' Rechnung bekommt.
Gruß v. Angela
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