Extremwertaufgabe < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 So 20.02.2005 | | Autor: | Etron |
N'abend, habe gerade dieses großartige Forum entdeckt und brauche dringend Hilfe bei folgender Aufgabe:
Gegeben ist eine Kugel mit Radius R. Um welchen Faktor ist ihr Volumen größer als das des größten Zylinders, der in diese Kuge einbeschrieben werden kann?
(Kugelvolumen : [mm] 4/3pi*R^3)
[/mm]
Meine Schwierigkeiten liegen hier schon bei der Bestimmung einer Gleichung mit der man dann weiterarbeiten kann.
Den Rest würde ich dann wohl auch alleine schaffen.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
Könnte mir jemand beim Ansatz helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:41 So 20.02.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Etron!
Erstmal: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> N'abend, habe gerade dieses großartige Forum entdeckt und
Danke für die Blumen! 
> brauche dringend Hilfe bei folgender Aufgabe:
>
> Gegeben ist eine Kugel mit Radius R. Um welchen Faktor ist
> ihr Volumen größer als das des größten Zylinders, der in
> diese Kuge einbeschrieben werden kann?
> (Kugelvolumen : [mm]4/3pi*R^3)
[/mm]
>
> Meine Schwierigkeiten liegen hier schon bei der Bestimmung
> einer Gleichung mit der man dann weiterarbeiten kann.
> Den Rest würde ich dann wohl auch alleine schaffen.
Mmh - vom Prinzip her finde ich die Aufgabe sehr interessant - allerdings weiß ich auch nicht so ganz, wie man die Gleichung erhält.
Aber wenn du dir die Aufgabe mal aufzeichnest:
Zeichne mal eine Kugel. Darein zeichnest du einen Zylinder, der komplett in der Kugel liegt. Theoretisch könnte der Zylinder die Höhe 2R haben, dann wäre seine "Breite" allerdings 0 (denn sonst läge er nicht mehr komplett in der Kugel). Andererseits könnte der Zylinder theoretisch auch die "Breite" 2R haben, dann müsste allerdings die Höhe 0 sein, aus dem gleichen Grund wie eben.
Das heißt, du musst nun die Höhe und die Breite so finden, dass der Zylinder maximal ist (ich vermute mal, dass das Volumen maximal sein soll).
Das Problem dabei ist nur, dass das ganze ja von dem Kreis abhängt, und dafür muss man eine Funktion finden. Aber da fällt mir gerade was ein: gilt nicht bei einem Kreis: [mm] x^2+y^2=r^2? [/mm] In deinem Fall dann also [mm] x^2+y^2=R^2? [/mm] Vielleicht hilft dir das weiter? Du kannst ja erstmal nur den halben Zylinder berechnen und dann mal zwei nehmen, also nur die obere "Hemisphäre". 
Nachtrag: bei einer Kugel wäre das dann wohl [mm] x^2+y^2+z^2=r^2, [/mm] oder? Dann hätten wir allerdings eine Variable mehr. Oder hilft das trotzdem irgendwie? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Ich würde also vorschlagen, du nimmst die Volumenformel für einen Zylinder und die Kreisgleichung (oder wie man das nennt) und dann hast du zwei Gleichungen und hoffentlich auch nur zwei Unbekannte und dann ist das ne ganz normale Extremwertaufgabe (hab's aber noch nicht ausprobiert, die Idee kam mir erst gerade beim Schreiben).
Falls du dir nicht vorstellen kannst, wie ich die Zeichnung meine, kann ich sie auch zeichnen und dann einscannen...
Oder hilft dir das vielleicht sogar schon weiter?
Naja, und den Faktor am Ende zu berechnen, das dürfte nicht das eigentliche Problem sein...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo, Etron,
am besten, man skizziert sich die Sache in der Draufsicht.
Dann nennt man den Radius des Zylinders r und die Höhe h. Mit dem Radius R der Kugel und Pythagoras ergibt sich: [mm] r^{2}=R^{2}-\bruch{h^{2}}{4}.
[/mm]
Eingesetzt in das Zylindervolumen erhält man: [mm] V_{Z} [/mm] (h) = [mm] (R^{2}-\bruch{h^{2}}{4})*\pi*h.
[/mm]
Ist 'ne Funktion 3.Grades in der Variablen h. Ableiten; =0 setzen; Volumen des zugehörigen Zylinders berechnen, mit dem Kugelvolumen in Relation setzen.
Ich krieg raus: ca. 57,7% des Kugelvolumens.
(Aber bitte: Die fortgeschrittene Zeit beachten! Ich pack's jetzt!)
mfG!
Zwerglein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:47 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bastiane!
Unter der Voraussetzung, daß der Zylinder innerhalb der Kugel senkrecht steht, müßte man wohl eher von einer Ansicht sprechen.
Ganz genau genommen handelt es sich um einen Vertikalschnitt durch die Kugel und den Zylinder in Höhe des Mittelpunktes.
Damit wird aus dem räumlichen Problem nämlich ein ebenes Problem.
Genau das hat Zwerglein gemacht und etwas mit dem Pythagoras gearbeitet.
Auch Dir eine ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]") ...
(werde jetzt auch in die Heia - mein Zug geht um 5:40h)
Grüße
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:44 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Etron |
Hallo,
danke erstmal, dass ihr wegen der Aufgabe auf euern Schlaf verzichtet, aber mir das mit dem Pythagoras nicht ganz klar. Ich mein die Ansicht verstanden zu haben, aber wo ergibt sich da denn ein Dreieck?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:57 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Etron!
Das Dreieck für den Pythagoras verläuft folgendermaßen:
Ausgehend vom Kreismittelpunkt (= Kugelmittelpunkt) horizontal mit $r$ (1. Kathete, $r$ = Radius des gesuchten Zylinders)
Von dort vertikal mit [mm] $\bruch{h}{2}$ [/mm] (2. Kathete, $h$ = Höhe des des gesuchten Zylinders)
Und nun wieder zurück zum Mittelpunkt. Diese Hypotenuse hat die Länge $R$.
($R$ = Kugelradius)
Damit nun den Pythagoras anwenden: [mm] $R^2 [/mm] \ = \ [mm] r^2 [/mm] + [mm] \left( \bruch{h}{2} \right)^2$
[/mm]
Nun klar(er) ??
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:04 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Etron |
Ahhh, viel klarer, danke.
Mal sehen, ob ich jetzt auch auf die 57% komme....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Etron |
> Ist 'ne Funktion 3.Grades in der Variablen h. Ableiten; =0
> setzen; Volumen des zugehörigen Zylinders berechnen, mit
> dem Kugelvolumen in Relation setzen.
Wenn du das beides gleichsetzt hast du ja noch R als Unbekannte. Wie kommt man jetzt auf den Faktor um den das größer ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Der Kugelradius $R$ wird als Konstante (weil ja vorgegeben) angesehen ...
Das Volumen der Kugel ist ja [mm] $V_{Kugel} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{3} [/mm] * [mm] \pi [/mm] * [mm] R^3$
[/mm]
Die ermittelten Werte für den (maximalen) Zylinder $r$ bzw. $h$ werden vom Kugelradius $R$ abhängig sein, also [mm] $r_E [/mm] \ = \ [mm] r_E(R)$ [/mm] bzw. [mm] $h_E [/mm] \ = \ [mm] h_E(R)$.
[/mm]
Damit hängt das maximale Zylindervolumen ebenfalls von $R$ ab:
[mm] $V_{Zyl., \ max} [/mm] \ = \ [mm] V_{Zyl.}(R) [/mm] \ = \ [mm] \pi [/mm] * [mm] r_E^2 [/mm] * [mm] h_E$
[/mm]
Um das gewünschte Verhältnis [mm] $\eta$ [/mm] zu ermitteln, mußt Du rechnen:
[mm] $\eta [/mm] \ = \ [mm] \bruch{V_{Zyl., \ max}}{V_{Kugel}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi * r_E^2 * h_E}{\bruch{4}{3} * \pi * R^3}$
[/mm]
Dabei sollte sich dann das $R$ rauskürzen, und es sollte Zwerglein's Ergebnis von [mm] $\eta [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0,577 \ = \ 57,7$% entstehen (ich habe das jetzt nicht nachgerechnet).
Grüße
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:54 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Etron,
jetzt habe ich's auch mal schnell überschlagen und erhalte wie Zwerglein ein Verhältniswert von [mm] $\eta [/mm] \ = \ [mm] \bruch{V_{Zylinder}}{V_{Kugel}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{3}}{3} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0,577$.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:19 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Leute,
danke für die Bestätigung! Zeigt mir, das ich auch in meinem fortgeschrittenen Alter selbst bei fortgeschrittener Tageszeit doch immer noch 'n paar graue Zellen aktivieren kann!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Etron |
Tut mir Leid, wenn ich nochmal Frage, aber ich komme einfach nicht auf euer Ergebnis:
Die Ableitung =0 setzen, dann nach h auflösen und in das Zylindervolumen einsetzen, um auf R zu kommen (?). Mir ist das Prinzip schon klar, aber irgendwie sind das zu viele Unbekannte, die mich gerade ziemlich fertig machen.
Bitte um Aufklärung !!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Etron!
Wir haben doch bisher ermittelt: [mm] $V_{Zyl.}(r, [/mm] \ h) \ = \ [mm] \pi [/mm] * [mm] r^2 [/mm] * h$
sowie (Du weißt ja: der Pythagoras): [mm] $r^2 [/mm] \ = \ [mm] R^2 [/mm] - [mm] \left( \bruch{h}{2} \right)^2 [/mm] \ = \ [mm] R^2 [/mm] - [mm] \bruch{h^2}{4}$
[/mm]
Wenn wir das jetzt einsetzen in die Zylinder-Volumenformel, erhalten wir:
[mm] $V_{Zyl.}(h) [/mm] \ = \ V(h) \ = \ [mm] \pi [/mm] * [mm] \left( R^2 - \bruch{h^2}{4} \right) [/mm] * h$
Diese Funktion ist nun nur noch von der Zylinderhöhe $h$ abhängig.
Den Kugelradius $R$ sehen wir als konstant an.
Also hier nun $V'(h)$ und $V''(h)$ ermitteln sowie [mm] $V'(h_E) [/mm] \ = \ 0$ setzen und dann nach [mm] $h_E$ [/mm] umformen.
Dabei wird das $R$ immer noch verbleiben, aber nicht davon beirren lassen! Dieses $R$ einfach wie eine beliebige (konstante) Zahl betrachten, z.B. 4 oder was auch immer ...
Schaffst Du es nun?
Sonst poste doch mal, wie weit Du kommst ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:37 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Etron |
Das blöde R war es!!
Ich dachte man müsse das auch noch bestimmen. Ich komme auf das selbe Ergebnis jetzt.
Vielen Dank (vor allem an Loddar) !!!
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Klasse ...
