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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Di 17.11.2009 | | Autor: | P3RF3CT |
| Aufgabe | Von einer rechteckigen Marmorplatte ist an einer Ecke ein Stück abgebrochen. Aus der Restplatte soll wieder ein rechteckiges Stück geschnitten werden, es soll so groß wie nur möglich sein!
Wie groß sind die Seiten zu wählen?
Marmorplatte: lange Seite 150cm (30cm abgebrochen)
kurze Seite 100cm (20cm abgebrochen)
(es ist also ein Dreieck rausgebrochen) |
Ich bin schon seit einigen Jahren aus der Schule raus, hab ehrlich gesagt keine Ahnung mehr. Hab den Ansatz versucht, jedoch ohne Erfolg.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
welchen Ansatz hast du denn probiert?
Als erstes solltest du versuchen den Flächeninhalt der neuen Platte in eine Formel zu pressen. Dann gibt es natürlich noch einen Zusammenhang zwischen den beiden Seiten (es sind ja die ursprünglichen Maße und die des Bruchstücks gegeben). Dieser kommt auch in die Formel rein und dann sehen wir weiter...
Stichwort: Ableitung einer Funktion.
Viel Erfolg erstmal bis dahin und schreibe ruhig, wie du voran kommst!
Roland.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Di 17.11.2009 | | Autor: | P3RF3CT |
Ehrlich gesagt hatte ich gehofft mir kann einer den Lösungsweg mal zeigen, da ich noch mehrere solcher Aufgaben parat habe und ich somit schonmal eine Beispielaufgabe mit Lösung hätte!
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Hallo,
hm... dann bin ich mal nicht so und gebe dir schon einen Ansatz:
Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen:
[mm] \(A=x \cdot y\)
[/mm]
Wir nehmen nun noch an, dass eine Ecke dieses neuen Rechtecks auf der abgebrochenen Seite liegt. Weiterhin soll gelten: lange Seite = [mm] \(x\), [/mm] kurze = [mm] \(y\). [/mm] Nun gibt es zu einer bestimmten [mm] \(x\)-Länge [/mm] eine [mm] \(y\)-Länge. [/mm] Du kannst dir die Tischplatte auch in ein Koordinatensystem gelegt vorstellen. Eine Ecke liegt im Koordinatenursprung und dem gegenüber liegt die abgetrennte Seite (natürlich kannst du die Platte auch beliebig anders legen, aber hier rechne ich so).
Ist also unsere lange Seite genauso lang wie die ursprüngliche (150cm), dann können wir den Tisch nur 80cm breit machen (von ursprünglich 100cm). Nehmen wir diese aber kürzer beispielsweise 120cm, kann die kurze Seite 100cm breit sein.
Nun gilt es diesen Sachverhalt in eine Gleichung zu packen.
Zwei Wertepaare haben wir schon gegeben (siehe oben). Daraus lässt sich ein linearer Zusammenhang der Form:
[mm] \(y=m\cdot [/mm] x + [mm] n\)
[/mm]
herstellen. Wenn du in ein Tafelwerk schaust, kannst du dort eine Formel für [mm] \(m\) [/mm] ablesen (ich schreibe sie hier nicht auf).
[mm] \(m=-\frac{2}{3}\)
[/mm]
Nun ein Wertepaar einsetzen und nach [mm] \(n\) [/mm] umstellen.
[mm] \(n=180\)
[/mm]
Der lineare Zusammenhang zwischen den beiden Längen ist also:
[mm] \(y=-\frac{2}{3} [/mm] x + [mm] 180\)
[/mm]
Das setzt man nun in die Flächeninhaltsformel ein:
[mm] \(A=x \cdot (-\frac{2}{3} [/mm] x + [mm] 180)\)
[/mm]
Würde man diese Funktion zeichnen, sieht man, dass ihr Scheitelpunkt (denn es ist eine quadratische Funktion) im positiven liegt und dieser gleichzeitig das Maximum ist. Nun gibt es wieder mehrere Möglichkeiten:
1. Man kennt die Scheitelpunktsformel und bestimmt diesen aus der Gleichung und erhält damit den richtigen x-Wert, setzt den in den Zusammenhang zwischen [mm] \(x\) [/mm] und [mm] \(y\) [/mm] ein und ist fertig, oder
2. Man leitet die Funktion nach [mm] \(x\) [/mm] ab, setzt diese Ableitung anschließend 0 und löst nach [mm] \(x\) [/mm] auf. Dann bestimmt man aus der Gleichung für den Zusammenhang zwischen [mm] \(x\) [/mm] und [mm] \(y\) [/mm] das entsprechende [mm] \(y\).
[/mm]
Leider weiß ich nicht, ob du mit Ableitungen bewandert bist. Deswegen lasse ich diesen Schritt weg.
Aber egal wie du rechnest, du erhältst:
[mm] \(x=135\) [/mm] und [mm] \(y=90\)
[/mm]
Nun noch einen schönen Antwortsatz, dann auch mit Maßeinheiten und fertig bist du.
Viel Erfolg,
Roland.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Di 17.11.2009 | | Autor: | P3RF3CT |
Vielen Dank für deinen Aufwand! Habs einigermaßen verstanden, nur verstehe ich eins nicht, wo habe ich denn eine quadratische Funktion?Du hast doch nur lineare Funktionen oder hast du dich verschrieben?
Sorry stehe grad auf dem Schlauch.
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Hallo, schaue dir die Skizze von mir an, der rote Punkt liegt auf der Bruchkante, damit wird das neue Rechteck gebildet, er liegt an der Stelle x, und die Bruchkante genügt der Gleichung [mm] f(x)=-\bruch{2}{3}*x+180, [/mm] das neue Rechteck hat also die
Länge: x
Breite: [mm] -\bruch{2}{3}*x+180
[/mm]
[mm] A(x)=x*(-\bruch{2}{3}*x+180) [/mm] Klammern auflösen
[mm] A(x)=-\bruch{2}{3}*x^{2}+180*x [/mm] deine quadratische Funktion
Steffi
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Hallo nochmal,
[mm] A=x\cdot [/mm] y
A= [mm] x\cdot (-\frac{2}{3}x+180)
[/mm]
Das zweite ist eine quadratische Gleichung.
Schöne Nacht noch,
Roland.
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Hallo, da ich die Zeichnung nun mal fertig habe, möchte ich sie dir auch zur Verfügung stellen,
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Zusammen,
Auch ich habe hier eine Zeichnung erstellt. Die möchte ich euch natürlich nicht vorenthalten  :
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zuerst berechnet man also die Geradengleichung [mm]g(x)\![/mm] durch die Punkte [mm](0,b-\delta)[/mm] und [mm](a-\epsilon,0)[/mm]. Dafür gilt [mm]g\left(\eta_x\right)=\eta_y\quad(\dagger)[/mm]. Die blaue Fläche ist [mm]F:=\left(a-\eta_x\right)\left(b-\eta_y\right)[/mm]. Jetzt setzt man [mm] $(\dagger)$ [/mm] in [mm]F\![/mm] ein und erhält entweder die Funktion [mm]F\left(\eta_x\right)[/mm] oder [mm]F\left(\eta_y\right)[/mm] je nachdem wie man eingesetzt hat. [mm]F(.)[/mm] gilt es z.B. durch ableiten zu maximieren.
Gruß V.N.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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