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Hallo,
kann mir jemand bei dieser Extremwertaufgabe mit ein paar Ansätzen helfen,hab irgendwie keine Idee :
Auf der x-Achse eines KS bewegt sich der Punkt P1 mit der konstanten Geschwindigkeit von 3 cm/s nach links und der Punkt P2 mit der konstanten Geschwindigkeit von 4 cm/s auf der y-Achse nach unten.
Zur Zeit t=0 ist P1 in (7/0) und P2 in (0/6). Wann erreicht der Abstand /P1P2/ sein Minimum?
Viele Grüsse:
Maexchen1
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Mo 23.05.2005 | | Autor: | zwaem |
Hola!
Du hast geschrieben:
> Zur Zeit t=0 ist P1 in (7/0)
Soll das nicht vielleicht heißen: Zur Zeit t=0 ist R1 in (0/7).
"Gibt mir einen festen Punkt und ich werde die Erde aus ihren Angeln heben" -Archiemedis
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Hi, Maexchen,
> Auf der x-Achse eines KS bewegt sich der Punkt P1 mit der
> konstanten Geschwindigkeit von 3 cm/s nach links und der
> Punkt P2 mit der konstanten Geschwindigkeit von 4 cm/s auf
> der y-Achse nach unten.
> Zur Zeit t=0 ist P1 in (7/0) und P2 in (0/6). Wann
> erreicht der Abstand /P1P2/ sein Minimum?
Idee (1): Der Abstand d zweier Punkte berechnet sich mit Pythagoras:
d = [mm] \wurzel{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}
[/mm]
Idee (2):
Der Punkt [mm] P_{1} [/mm] ist nach t Sekunden bei (7 - 3t; 0) angekommen;
der Punkt [mm] P_{2} [/mm] ist nach t Sekunden bei (0; 6 - 4t) angekommen.
Kombination der beiden Ideen:
Der Abstand der beiden Punkte nach t Sekunden beträgt:
d(t) = [mm] \wurzel{(3t - 7)^{2} + (6 - 4t )^{2}}
[/mm]
Idee (3):
Der Abstand ist genau dann minimal, wenn auch das darüber gezeichnete Quadrat kleinsten Flächeninhalt hat.
Daher kann bei der Berechnung statt d(t) (was ja eine Wurzel ist und somit beim Ableiten viel Arbeit macht) auch q(t) = [mm] d^{2}(t) [/mm] betrachtet werden.
Weitere Rechnung:
q(t) = (3t - [mm] 7)^{2} [/mm] + (6 - 4t [mm] )^{2}
[/mm]
ausmultiplizieren,
dann ableiten,
q'(t) = 0 setzen
und beweisen, dass dabei ein absolutes Minimum rauskommt!
Alles klar?
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