Extremwertaufgabe < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Fr 28.01.2011 | | Autor: | coucou |
| Aufgabe | Die Funktion f kann durch f(x)=2xe^(2-x) daegestellt werden. Die gerade x=u mit [mm] u\ge0,5 [/mm] schneidet den Graphen von f im Punkt P und den Graphen von f' im Punkt S. Der Koordinatenursprung wird mit 0 bezeichnet.
Leiten Sie die Flächeninhaltsformel A(u)= [mm] (2u^2-u)e^{2-u} [/mm] des Dreiecks OPS her und bestimmen sei den Wert u, für den der Flächeninhalt des Dreieckes am größtzen wird. Berechnen Sie auch den zugehörigen Flächeninhalt. |
Hallo!
Bis jetzt hatten wir immer nur Aufgaben, in denen es um ein rechtwinkliges Dreieck ging. Bei diesem hier kann ich das jedoch nicht wissen, oder? Also nicht einfach 1/2 * g*h= 1/2* u * f(u) rechnen, oder? Aber woher weiß ich, wo mein rechter Winkel ist, bzw. ob es einen gibt?
Für Tipps und Lösungsansätze wäre ich sehr dankbar.
Liebe Grüße,
coucou
|
|
| |
|
> Die Funktion f kann durch f(x)=2xe^(2-x) daegestellt
> werden. Die gerade x=u mit [mm]u\ge0,5[/mm] schneidet den Graphen
> von f im Punkt P und den Graphen von f' im Punkt S. Der
> Koordinatenursprung wird mit 0 bezeichnet.
> Leiten Sie die Flächeninhaltsformel A(u)= [mm](2u^2-u)e^{2-u}[/mm]
> des Dreiecks OPS her und bestimmen sei den Wert u, für den
> der Flächeninhalt des Dreieckes am größtzen wird.
> Berechnen Sie auch den zugehörigen Flächeninhalt.
>
>
>
> Hallo!
>
> Bis jetzt hatten wir immer nur Aufgaben, in denen es um ein
> rechtwinkliges Dreieck ging. Bei diesem hier kann ich das
> jedoch nicht wissen, oder? Also nicht einfach 1/2 * g*h=
> 1/2* u * f(u) rechnen, oder? Aber woher weiß ich, wo mein
> rechter Winkel ist, bzw. ob es einen gibt?
> Für Tipps und Lösungsansätze wäre ich sehr dankbar.
>
> Liebe Grüße,
> coucou
Erst einmal mach dir klar: die Formel für den Inhalt eines Dreiecks ist IMMER [mm] \bruch{1}{2}*g*h. [/mm] Egal welche Seite eines Dreiecks du nimmst, du kannst sie als g definieren und musst dir dann halt die entsprechende Höhe raussuchen. Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist nur der Sonderfall, dass die Höhe einer Seite des Dreiecks entspricht.
Nun zu deinem Fall:
Skizze!!!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie man sieht, kommt die Aufgabenstellung also durchaus hin, für u > 0,5 haben wir auseinanderlaufende Graphen (bis ca. 6). Nun wäre die Frage:
Wie kannst du sinnvoll g und h definieren? Dann ergibt sich schnell: Am günstigsten wäre es, g als die Differenz zwischen f(x) und f'(x) zu definieren. Die Höhe ist dann nämlich genau die x-Achse, und damit u für den Punkt P (u|f(u)) bzw S(u|f'(u). Damit musst du also nur g als Differenz zwischen f(x) und f'(x) aufschreiben und h als u. Damit kommst du auf gesuchte Formel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Fr 28.01.2011 | | Autor: | coucou |
Vielen Dank, jetzt hab ich es endlich auch hinbekommen. :)
Wenn ich jetzt ausrechnen will, für welchen Wert von u das Dreieck einen maximalen Flächeninhalt hat, muss ich die Funktion doch ableiten und dann das lokale Maximum ausrechnen, oder?
Ich komme dann auf 4ue^(-u+2) + ue^(-u+2) -e^(-u+2) [mm] -2u^2*e^{-u+2}= [/mm] e^(-u+2)* [mm] (5u-1+2u^2)
[/mm]
Stimmt das?
Vielen Dank!
Coucou
|
|
|
| |
|
> Vielen Dank, jetzt hab ich es endlich auch hinbekommen. :)
> Wenn ich jetzt ausrechnen will, für welchen Wert von u
> das Dreieck einen maximalen Flächeninhalt hat, muss ich
> die Funktion doch ableiten und dann das lokale Maximum
> ausrechnen, oder?
So ist es, wenn es einen Maximalwert gibt, so zeigt dir das die Ableitung an (bitte Ausdrücke, die Exponenten sind und länger als zwei Zeichen in {}-Klammern statt in runde ;) )
> Ich komme dann auf [mm] $4ue^{-u+2} [/mm] + [mm] ue^{-u+2} -e^{-u+2}$ [/mm]
> [mm]-2u^2*e^{-u+2}=[/mm] [mm] e^{-u+2}*[/mm] [mm](5u-1+2u^2)[/mm]
> Stimmt das?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") das habe ich auch, aber bei mir steht [mm] (5u-2u^2-1)
[/mm]
und irgendwie ist dir in der ersten Zeile ein Summand abhanden gekommen:
[mm] A'(u)=(4u-1)*e^{2-u}+(2u^2-u)*e^{2-u}*(-1)
[/mm]
>
> Vielen Dank!
> Coucou
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Fr 28.01.2011 | | Autor: | coucou |
Hab mich vertippt, Danke. ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Fr 28.01.2011 | | Autor: | coucou |
Und nochmal "Hallo";)
Also, für f'(u)=0 habe ich jetzt 0 und 2,5 heraus.
Um zu testen, ob es sich um ein lokales Maxi- oder Minimum handelt, habe ich beides noch in die zweite Ableitung eingesetzt. Da ich aber beide Male einen Wert über Null (also einen Tiefpunkt) herausbekam, denke ich, dass in meiner 2. Ableitung ein Fehler ist, denn das Dreieck soll ja maximal werden.
Meine 2. Ableitung lautet:
[mm] -e^{-x+2}(2x^2+5x-1)+(4x+5)e^{-x+2}=e^{-x+2}(2x^2-x+6)
[/mm]
Danke nochmals,
coucou
|
|
|
| |
|
Hallo coucou,
> Und nochmal "Hallo";)
> Also, für f'(u)=0 habe ich jetzt 0 und 2,5 heraus.
Hier meinst Du wohl A'(u).
Das sind aber keine Lösungen von A'(u)=0.
> Um zu testen, ob es sich um ein lokales Maxi- oder Minimum
> handelt, habe ich beides noch in die zweite Ableitung
> eingesetzt. Da ich aber beide Male einen Wert über Null
> (also einen Tiefpunkt) herausbekam, denke ich, dass in
> meiner 2. Ableitung ein Fehler ist, denn das Dreieck soll
> ja maximal werden.
> Meine 2. Ableitung lautet:
>
> [mm]-e^{-x+2}(2x^2+5x-1)+(4x+5)e^{-x+2}=e^{-x+2}(2x^2-x+6)[/mm]
>
> Danke nochmals,
> coucou
>
Gruss
MathePower
|
|
|
|
