Extremwertaufgabe < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:33 Sa 12.05.2012 | | Autor: | db60 |
| Aufgabe | | Aus drei Brettern, die alle die Breite g haben, soll eine Rinne mit maximalen Fassungsvermögen gebaut werden. Dabei soll ein Brett die Unterseite der Rinne bilden und die anderen zwei die Seitenwände. Welchen Winkel bilden die Seitenwände dabei mit der Unterseite ? |
Ich habe folgendes gemacht:
Die Trapezformel verwendet:
A(x) = [mm] \bruch{a+c}{2}*h [/mm] h=g*sin(x)
a= g+2b b=g*cos(x)
A(x) = [mm] \bruch{g+2g*cos(x)+g}{2}*g*sin(x)
[/mm]
A'(x) = [mm] g(cos^{2}(x)-sin^{2}(x)-sin(x))
[/mm]
[mm] cos^{2}(x)-sin^{2}(x)-sin(x)=0
[/mm]
Ist bis hierhin alles richtig ? Und ab da komm ich mit der Umformung auch nicht weiter !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 Sa 12.05.2012 | | Autor: | abakus |
> Aus drei Brettern, die alle die Breite g haben, soll eine
> Rinne mit maximalen Fassungsvermögen gebaut werden. Dabei
> soll ein Brett die Unterseite der Rinne bilden und die
> anderen zwei die Seitenwände. Welchen Winkel bilden die
> Seitenwände dabei mit der Unterseite ?
> Ich habe folgendes gemacht:
>
> Die Trapezformel verwendet:
>
> A(x) = [mm]\bruch{a+c}{2}*h[/mm] h=g*sin(x)
>
> a= g+2b b=g*cos(x)
>
> A(x) = [mm]\bruch{g+2g*cos(x)+g}{2}*g*sin(x)[/mm]
Hallo,
im Zähler kannst du g ausklammern und erhältst
[mm]A(x)=g*\bruch{1+2cos(x)+1}{2}*g*sin(x)=g*\bruch{2+2cos(x)}{2}*g*sin(x)=g^2(1+cos(x))*sin(x)[/mm],
also [mm] $A(x)=g^2*(sin(x)+cos(x)*sin(x))$
[/mm]
Das [mm] $g^2$ [/mm] bleibt beim Ableiten als Faktor erhalten, die Ableitung ist
[mm] $g^2(cos(x)-sin^2(x)+cos^2(x))$. [/mm]
Wegen [mm] $sin^2(x)=1-cos^2(x)$ [/mm] kannst du den Ableitungsterm allein mit dem Kosinus ausdrücken und musst beim Nullsetzen die entsprechende quadratische Gleichung lösen.
Gruß Abakus
>
> A'(x) = [mm]g(cos^{2}(x)-sin^{2}(x)-sin(x))[/mm]
>
> [mm]cos^{2}(x)-sin^{2}(x)-sin(x)=0[/mm]
>
> Ist bis hierhin alles richtig ? Und ab da komm ich mit der
> Umformung auch nicht weiter !
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 Sa 12.05.2012 | | Autor: | nobsy |
Wie richtig erkannt wurde, ist [mm] A(x)=g^2*(1+cos(x))*sin(x). [/mm]
Da hier x nur zwischen 0 und pi/2 liegt, kann man ohne Fallunterscheidung den cos durch den sin ersetzen: cos(x) = [mm] Wurzel(1-(sin(x))^2). [/mm]
Jetzt führt man noch die Substitution z=sin(x) ein und hat eine einfache Funktion in z, mit der man gut rechnen kann (Ableitung usw.). Zuletzt wird wieder rücksubstituiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 So 13.05.2012 | | Autor: | db60 |
> Wie richtig erkannt wurde, ist [mm]A(x)=g^2*(1+cos(x))*sin(x).[/mm]
> Da hier x nur zwischen 0 und pi/2 liegt, kann man ohne
> Fallunterscheidung den cos durch den sin ersetzen: cos(x) =
> [mm]Wurzel(1-(sin(x))^2).[/mm]
Gemeint ist doch bestimmt
[mm] A(x)=g^2*(1+sin(x))*cos(x) [/mm] oder ?
>
> Jetzt führt man noch die Substitution z=sin(x) ein und hat
> eine einfache Funktion in z, mit der man gut rechnen kann
> (Ableitung usw.). Zuletzt wird wieder rücksubstituiert.
muss ich dann z auch zusätzlich ableiten ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 So 13.05.2012 | | Autor: | abakus |
> > Wie richtig erkannt wurde, ist [mm]A(x)=g^2*(1+cos(x))*sin(x).[/mm]
> > Da hier x nur zwischen 0 und pi/2 liegt, kann man ohne
> > Fallunterscheidung den cos durch den sin ersetzen: cos(x) =
> > [mm]Wurzel(1-(sin(x))^2).[/mm]
>
> Gemeint ist doch bestimmt
>
> [mm]A(x)=g^2*(1+sin(x))*cos(x)[/mm] oder ?
Nein.
> >
> > Jetzt führt man noch die Substitution z=sin(x) ein und hat
> > eine einfache Funktion in z, mit der man gut rechnen kann
> > (Ableitung usw.). Zuletzt wird wieder rücksubstituiert.
>
> muss ich dann z auch zusätzlich ableiten ?
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 So 13.05.2012 | | Autor: | db60 |
Muss der Winkel also zwischen der Unterseite und der Seitenwand 90° sein damit das Fassungsvermögen maximal wird ?
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Hallo, du hast
[mm] A(x)=g^2*[sin(x)+cos(x)*sin(x)]
[/mm]
[mm] A'(x)=g^2*[cos(x)-sin^2(x)+cos^2(x)]
[/mm]
[mm] A'(x)=g^2*[cos(x)-1+cos^2(x)+cos^2(x)]
[/mm]
[mm] A'(x)=g^2*[2*cos^2(x)+cos(x)-1]
[/mm]
[mm] 0=g^2*[2*cos^2(x)+cos(x)-1]
[/mm]
es ist also die quadratische Gleichung
[mm] 0=2*cos^2(x)+cos(x)-1
[/mm]
[mm] 0=cos^2(x)+0,5*cos(x)-0,5
[/mm]
zu lösen, mache Substitution z:=cos(x)
Steffi
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