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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Di 13.09.2005 | | Autor: | ONeill |
Aufgabe ist folgende:
Für welche beiden positiven Zahlen, deren Produkt 8 ist, wir die Summe am kleinsten?
Mein Lösungweg:
Extremalbedingung: x+y=z (x und y die beiden Zahlen und z die kleinste Summe)
Nebenbedingung: x*y=8
Zielbedingung: 8/y+y=z
Erste Ableitung davon: [mm] -8/y^2+1=z
[/mm]
Dann habe ich z=0 gesetzt und rausbekommen y=Wurzel aus 8
Ist das nun richtig?
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Hallo ONeill!
> Extremalbedingung: x+y=z (x und y die beiden Zahlen und z
> die kleinste Summe)
> Nebenbedingung: x*y=8
> Zielbedingung: 8/y+y=z
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Erste Ableitung davon: [mm]-8/y^2+1=z[/mm]
> Dann habe ich z=0 gesetzt und rausbekommen y=Wurzel aus 8
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Zweimal Tippfehler! Du meinst hier doch: [mm] $z\red{'} [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{8}{y^2} [/mm] \ = \ 0$
[mm] $y_e [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{8}$ [/mm] ist richtig!
Aber Du musst das ja noch nachweisen als Minimum durch Einsetzen in die 2. Ableitung [mm] $z''(y_e) [/mm] \ > \ 0$ (hinreichendes Kriterium).
Wie lautet dann die andere Zahl $x_$ ?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Di 13.09.2005 | | Autor: | ONeill |
Vielen Dank für die Antwort!!
Also dann wäre die zweite ABleitung doch:
[mm] z''=16/y^3
[/mm]
Setze ich das =0 bekomme ich auch null für y raus und das darf ja nicht sein(zumindest bringt einen das nicht weiter).
Darum habe ich dann in die Ausgangsfunktion Werte eingesetzt, die knapp neben Wurzel 8 liegen. Dabei bekommen wir (wenn wir uns einen Graphen vorstellen)praktisch den y Wert der Punkte neben dem vermuteten Tiefpunkt. Ich habe also für diese "y Werte) 5,7 und 5 2/3 rausbekommen. Diese sind größer und somit haben wir ein absolutes Minimum an diesem Punkt, richtig??
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Hallo ONeill!
> Also dann wäre die zweite ABleitung doch:
> [mm]z''=16/y^3[/mm]
> Setze ich das =0 bekomme ich auch null für y raus und das
> darf ja nicht sein(zumindest bringt einen das nicht
> weiter).
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Wieso das denn? Zum einen hat die 2. Ableitung keine Nullstellen!
Zum anderen sollst du hier ja nun den Wert [mm] $y_e [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{8}$ [/mm] einsetzen:
[mm] $z''(y_e) [/mm] \ = \ [mm] z''(\wurzel{8}) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{16}{\left(\wurzel{8} \ \right)^3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] \ > \ 0$
Also, es handelt sich um ein Minimum!
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Di 13.09.2005 | | Autor: | ONeill |
Ach stimmt. Vielen Dank du hast mir sehr (und dazu noch schnell ^^) geholfen. Vielleicht kann ich mich ja mal revangieren.
Danke!
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