Extremwertaufgabe Kreissektor < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben sei ein Kreis mit dem Radius r. Rollt man einen Kreissektor zusammen, entsteht ein Kegel. Bei welchem Mittelpunktswinkel alpha des Sektors entsteht ein Kegel mit maximalem Volumen??? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Nun ja ihr seht die Aufgabe, ich komme mit ihr leider nicht richtig gut klar...
Ich habe einen Ansatz:
Hauptbedingung: Volumen: 1/3 * pi* r²* h-->> soll extremal werden...
Nebenbedingung: d=s, d/2= s/2
Überlegung: r(Kreis)= Hypothenuse vom Kegel
Dreieck: gleichschenklig, alle Winkel 60 °
Rechnung: (d/2)² + h²= s²
h²= s²- (d/2)²
h= Wurzel aus s²-(d/2)²
h in Volumenformel einsetzen:
V= 1/3 * pi* (d/2)² * Wurzel aus s²- (d/2)² | ²
V= 1/3*pi² * (d/2) hoch 4 * s²-(d/2)²
Soweit richtig????
V'= (4*d/2)³ * 2s - (2d/2)
Richtig????
V'=0 <----> (4*d/2)³ * 2s - (2d/2)= 0
An dieser Stelle kome ich nicht weiter, ich weiß nicht wie ich es so umformen kann dass ich nur noch eine Variable habe, außerdem habe ich keine Ahnung wie ich dan auf den gesuchten Winkel alpha komme...
Ihr müsst mir helfen!!!
Danke euch im Voraus!
MFG. ALEX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:23 So 02.09.2007 | | Autor: | Extremler |
Ich nochmal!
Also habe es jetzt so gelöst,dass ich d = s gesetzt habe(alle winkel 60°)
das ergibt nachher für d= 1 und für s=1 , r=0,5
Nur wie komme ich jetzt auf den Winkel alpha, der geuscht ist???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 So 02.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
Die Bogenlänge des Kreissektor mit $r_$ und [mm] $\alpha$ [/mm] entspricht doch dem Umfang des entstehenden Kreiskegels mit dem neuen Radius $r'_$ :
$u \ = \ [mm] 2*\pi*r' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\alpha}{360°}*2*\pi*r$ $\Rightarrow$ [/mm] $r' \ = \ [mm] \bruch{\alpha}{360°}*r$
[/mm]
Die 2. Nebenbedingung erhalten wir - wie Du bereits erkannt hast - aus dem Pythagoras:
[mm] $r^2 [/mm] \ = \ [mm] (r')^2+(h')^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{\alpha}{360°}*r\right)^2+(h')^2$
[/mm]
Dies nun umstellen nach $h' \ = \ ...$ und einsetzen in die Hauptbedingung $V \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\pi*(r')^2*h'$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Hallo, danke für deine Mühe:)
Wie kann ich aber nun (h')² + ( alpha / 360° *r)² nach h' umstellen???
Steht auf der anderen Seite der Gleichung eine 0???
Dann wäre h'= -(alpha/360° *r) , oder???
Danke, ich raffe das im Moment aber irgendwie nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 So 02.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
Ich habe doch da eine Gleichung stehen (also steht da auch was "auf der anderen Seite") mit:
$ [mm] \red{r^2} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{\alpha}{360°}\cdot{}r\right)^2+(h')^2 [/mm] $
Gruß
Loddar
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ok wenn auf der anderen seite r² steht dann lautet die gleichung:
h' = r - (alpha / 360 ° *r)
eingesetzt ergibt das dann:
V= 1/3 * pi * r' * ( r-(alpha/360°*r)) oder?????
Wie geht es dann weiter???
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Noch mal ich;)
Wenn das Obige richtig ist, habe ich: V= 1/3 * pi* r' * -( alpha/360° * r)
Nach was soll ich das denn auflösen, nach r oder nach alpha???
Du musst mir helfen, ich verstehe es nicht:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 So 02.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
> Nach was soll ich das denn auflösen, nach r oder nach [mm] \alpha [/mm] ???
Weder noch. Du musst dann von dieser Volumensfunktion $V \ = \ [mm] V(\alpha)$ [/mm] die Ableitung [mm] $V'(\alpha)$ [/mm] ermitteln und die entsprechenden Nullstellen der Ableitung berechnen (= Extremwertberechnung).
Gruß
Loddar
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Hallo:)
Danke erstmal!
Dann habe ich jetzt folgendes:
V= 1/3*pi* r * ( Wurzel aus 360²-alpha²/360) * /alpha/360° *r ) ²
Bei der Ableitung fällt dann 1/3 * pi weg oder?
Dann siehts so aus:
V'= r*1/2*360²-alpha² hoch -1/2 * 2alpha/360 ° *r , ODER????
Hätte ich gewusst, dass das sos cheiße schwer ist, hätte ich es sein gelassen-.-
Wie gehts jetzt weiter, oder ist meine Ableitung überhaupt richtig???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:48 So 02.09.2007 | | Autor: | Extremler |
Wenns richtig ist dann muss ich das jetzt gleich 0 setzen, nur wie bekomme ich aus diesem Gedöns irgendeine Nullstelle???
Ich raffe das nicht mit dem ° !!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:53 So 02.09.2007 | | Autor: | Extremler |
Hi, habe jetzt:
V=1/3 * pi* ( alpha/360 ° * r )² * ( r - ( alpha/360° * r))
Und nun???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Di 04.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast noch immer einfach die Wurzel weggelassen, Dein V ist also falsch.
Schreibs mit der Wurzel hin!
1. Tip.
um ohne Wurzel zu rechnen kannst du das max von [mm] V^2 [/mm] suchen, das liegt an derselben Stelle wie das max von V.
2. du kannst [mm] \alpha/360= [/mm] x stzen, dann sieht die Formel einfacher aus.
dann ausrechnen, wo V(x) am grössten ist, und am Ende
[mm] \alpha=360*x
[/mm]
Gruss leduart
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