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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Souljha |
| Aufgabe | Bestimme die Seitenlängen a und b und den Umfang u desjenigen Rechtecks, das bei gegebener Diagonalenlänge
länge d [mm] (d=6*\wurzel{2}cm) [/mm] maximalen Umfang u hat. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute,
als Hauptbedingung habe ich u=2a+2b und als Nebenbedingung a²+b²=d². Die Nebenbedingung hab ich nach a umgestellt und erhalte dadurch folgende Zielfunktion:
[mm] u=2*\wurzel{d²-b²}+2b
[/mm]
Wie muss ich nun die erste Ableitung angehen?
Die Wurzel in Potenz geschrieben lautet ja [mm] x^{0.5}. [/mm] Also würde die Zielfunktion nun so aussehen:
[mm] u=2*(d²-b²)^{0.5}+2b
[/mm]
Müsste ich nun die Kettenregel anweden oder bin ich auf einem komplett falschen Weg?
Grüße,
Souljha
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Hallo Souljha!!
... und einen schönen Nachmittag!
Ich denke, der Ansatz ist wohl ganz gut!
Also, jetzt wäre meine Überlegung: quadriere doch die gesamte Gleichung!
Dieses müsste in diesem Fall eine Äquivalenzumformung darstellen, da beide Terme der Gleichung, zumindest in dem "Sinn der Geometrie", durchweg positiv.
Daher folgendes:
[mm]u=2\cdot{}\wurzel{d²-b²}+2b[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]u-2b=2\cdot{}\wurzel{d²-b²}[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]u^2-2bu+4b^2=4*(d^2-b^2)[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]u^2+4b^2-2bu=4d^2-4b^2[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]u^2+8b^2-2bu=4d^2[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]u^2+8b^2-2bu-4d^2=0[/mm]
Ach so ein Misst aber auch! Ich hatte eingentlich angedacht, das auf einen quadratische Gleichung zurückzuführen, aber nun wird das wohl nichts![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") ...
Hmmm, ich denke noch mal drüber nach ![[buchlesen]](/images/smileys/buchlesen.gif "[buchlesen]") !
Ich hoffe, ich stifte nicht als zu viel Verwirrung mit dieser Antwort!
Mit den besten (guten Mittag-) Grüßen
Goldener Schnitt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Souljha |
Danke für deinen Versuch, ich habe hier die Lösungen der Aufgabe vielleicht hilft es ja jemanden weiter:
Lösung: b = [mm] \wurzel{A;} [/mm] a = [mm] \wurzel{A}; [/mm] d = [mm] \wurzel{2} [/mm] × [mm] \wurzel{A} [/mm] (b = 5 cm; a = 5 cm; d = 5 [mm] \wurzel{2}cm)
[/mm]
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Hi, Souljha,
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> Lösung: b = [mm]\wurzel{A;}[/mm] a = [mm]\wurzel{A};[/mm] d = [mm]\wurzel{2}[/mm] ×
> [mm]\wurzel{A}[/mm] (b = 5 cm; a = 5 cm; d = 5 [mm]\wurzel{2}cm)[/mm]
Ich weiß nicht, was Du mit [mm] \wurzel{A} [/mm] meinst: Schließlich war ja d als konstant vorgegeben.
Also: Du musst natürlich - wie Du's schon vorhattest, die Funktion u nach der Variablen b ableiten.
Dabei erhälts Du : u'(b) = [mm] \bruch{-2b}{\wurzel{d^{2}-b^{2}}} [/mm] + 2
Das setzt Du nun =0 und löst nach b auf (wobei b > 0 klar ist!).
Zum Vergleich: Ich bekomme raus: b = [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{2}*d
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Souljha |
oh das ist mir jetzt aber peinlich. Ich habe die Lösung einer anderen Aufgabe ins Forum gestellt, hier ist die richtige Lösung zur Aufgabe:
Lösung: [mm] b=\bruch{1}{2}*\wurzel{2}*d; a=\bruch{1}{2}*\wurzel{2}*d; u=2*\wurzel{2}*d [/mm] (b = 6 cm; a = 6 cm; u = 24 cm)
Könntest du bitte einen Zwischenschritt bei der Ableitung machen? Hast du die mit der Kettenregel gelöst?
Grüße,
Souljha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Souljha!
 Kettenregel ist genau richtig ... multipliziert mit der inneren Ableitung kannst Du die $2_$ kürzen und hast sofort Zwerglein's Ergebnis zur Ableitung.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Souljha |
Erstmal Danke für die schnelle Hilfe, das ist echt ein super Matheraum.
Hallo, oje ich habe immernoch Probleme. :I
Also die innere Ableitung ist doch:
2d-2b
und die äußere Ableitung
[mm] (...)^{-1/2}
[/mm]
Wenn ich dies nun einsetzte komme ich auf:
[mm] u'(b)=(2d-2b)*(d²-b²)^{-1/2}+2
[/mm]
Dies Form ich dann um nach:
[mm] u'(b)=\bruch{2d-2b}{\wurzel{d^{2}-b^{2}}}+2
[/mm]
Ich habe allerdings im Zähler noch ein 2d stehen, was in der Lösung von Zwerglein nicht dabei ist und ich find bei mir den Fehler nicht. :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Souljha |
Ok danke.
Normalerweise verrechne ich immer sofort Konstanten unser Lehrer nennt das immer die Schülerversion. ^^ Habe da einfach nicht dran gedacht, das die Konstante wegfällt.
Habe nun das richtige Ergebnis raus. Vielen Dank für eure geduldige und schnelle Hilfe.
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Nein, wie leiten ja lediglich nach der Größe $b_$ ab. $d_$ wird dabei als konstant betrachtet.
