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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Mo 14.02.2005 | | Autor: | Jennifer |
Die Aufgabe lautet wie folgt:
Ein wasserbehälter besteh aus einem auf der Spitze stehenden Kreiskegel mit aufgesetztem Kreiszylinder. der Zylinder soll eine Höhe von 2 m, die Mantellinie des kegels eine Länge von 6 m haben. Welches fassungsvermögen ist im Höchstfall möglich
Meine Lösung lautet wie folgt:
V --> max
V= [mm] \bruch{\pi}{3}*r²*h+\pi*r²*h
[/mm]
h= [mm] \wurzel{36-r²}
[/mm]
V'(r)= [mm] \bruch{-2*\pi*r²*(36-r²)^{-0,5}+12*\pi*r}{3}
[/mm]
r=5,92 m
h(Kegel)=0,977m
V(gesamt)= 256,053m³
Ich hoffe, die lösung stimmt und wäre furchtbar dankbar, wenn es jemand überpürfen könnte.
LG
Jennifer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 Mo 14.02.2005 | | Autor: | Andi |
Hallo Jennifer,
> Ein wasserbehälter besteh aus einem auf der Spitze
> stehenden Kreiskegel mit aufgesetztem Kreiszylinder. der
> Zylinder soll eine Höhe von 2 m, die Mantellinie des kegels
> eine Länge von 6 m haben. Welches fassungsvermögen ist im
> Höchstfall möglich
> Meine Lösung lautet wie folgt:
> V --> max
> V= [mm]\bruch{\pi}{3}*r²*h+\pi*r²*h[/mm]
die Höhe des Zylinders und die Höhe des Kegels müssen nicht unbedingt gleich sein. Deshalb würde ich hier zwei verschiedene Bezeichnungen wählen. Höhe vom Kegel [mm]h_K[/mm] und Höhe vom Zylinder [mm]h_Z[/mm].
> h= [mm]\wurzel{36-r²}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> V'(r)= [mm]\bruch{-2*\pi*r²*(36-r²)^{-0,5}+12*\pi*r}{3}
[/mm]
Hier komme ich auf ein anderes Ergebnis:
[mm]V(r)=\bruch{\pi}{3}*r^2*\wurzel{36-r^2}+2*\pi*r^2[/mm]
[mm]V'(r)=2*\bruch{\pi}{3}*r*\wurzel{36-r^2}+\bruch{\pi}{3}*r^2*\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{36-r^2}}*(-2r)+4\pi*r[/mm]
[mm]V'(r)=2*\bruch{\pi}{3}*r*\wurzel{36-r^2}-\bruch{\pi}{3}*r^3*\bruch{1}{\wurzel{36-r^2}}+4\pi*r[/mm]
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Mo 14.02.2005 | | Autor: | Jennifer |
Oh ja stimmt. Vielen dank. Aber ich kann die gleichung absolut nicht nach r auflösen. ich bekomme die klammer nie weg und komme immer nur auf unrealistische werte, die sich zudem dauernd ändern :/ Wäre nett, wenn du mir das vorechnen könntest. (ich habe wirklich versucht allein drauf zu kommen, aber nach 5 seiten papier, erkenne ich meinen fehler immer noch nicht)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Mo 14.02.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Jennifer
Erstmal siehst du, dass r=0 eine Lösung ist (uninterressant, da V=0 also minimales Volumen) dann dividierst du die Gleichung durch r und [mm] \pi [/mm] und multiplizierst mit der Wurzel im Nenner. Die verbleibende Wurzel kommt auf eine Seite, dann beide Seiten quadrieren! in der Gleichung mit [mm] r^{2} [/mm] und r^(4) setzest du [mm] r^{2} [/mm] =x und [mm] r^{4}=x^{2}, [/mm] dann ist es einfach. wenn du noch Zweifel hast, post deine Ergebnisse.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:33 Di 15.02.2005 | | Autor: | Jennifer |
Oh, also ich habe jetzt raus:
r=5,656m
h=2,01m
V(ges)=268,31m³
Hoffentlich stimmt das jetzt so.
Vielen Dank nochmal an euch beide.
LG
Jennifer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:03 Di 15.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Jennifer
also, ich habe nicht genau das gleiche Ergebnis!
Ich würde aber von Anfang an anders vorgehen, dann wird es viel einfacher!
Du hattest ja:
[mm] $V=\bruch{\pi}{3}r^2h+2\pi r^2$
[/mm]
Mit der Nebenbedingung
[mm] $r^2+h^2=36$
[/mm]
Statt in der Volumenformel die viel Mühsal verursachende Wurzel ( [mm] $h=\wurzel{36-r^2}$ [/mm] ) einzusetzen, könnte man doch einfacher das [mm] $r^2$ [/mm] ersetzen, durch den Ausdruck [mm] $36-h^2$
[/mm]
Dann ergibt sich für das Volumen:
[mm] $V=\bruch{\pi}{3}(36-h^2)h+2\pi (36-h^2)$
[/mm]
[mm] $V=72\pi+12\pi h-2\pi h^2-\bruch{\pi}{3}h^3$
[/mm]
[mm] $V'=12\pi-4\pi h-\pi h^2$
[/mm]
[mm] $12\pi-4\pi h-\pi h^2=0$
[/mm]
[mm] $h^2+4h-12=0$
[/mm]
[mm] $h_{1,2}=\bruch{-4\pm \wurzel{16+48}}{2}=\bruch{-4\pm 8}{2}=-2\pm [/mm] 4$
Das negative $h_$ entfällt, womit sich ergibt:
$h=2$
Und dann [mm] $r=\wurzel{32}=4\wurzel{2}$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
Paul
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