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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Extremwertaufgabe m. Intervall
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Extremwertaufgabe m. Intervall: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:13 Mi 05.03.2008
Autor: ZeroMPH

Aufgabe
Gegeben ist die Funktion f mit [mm] f(x)=e^x. [/mm]
a) Ermittle die Gleichung der Geraden g durch die Punkte P1(0/1) und P2(1/e) des Graphen der Funktion f. Fertige eine Zeichnung an.

b) Für welches x Element aus [0;1] ist g(x) - f(x) maximal? Berechne das Extremum.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


a) g(x)=(e-1)*x+1 [Diese Lösung müsste stimmen]

Bei b) habe ich folgendes Problem: Wie bringe ich den Intervall [0;1] in die Rechnung ein?

h(x)=g(x)-f(x)
[mm] h(x)=(e-1)*x-e^x [/mm]
[mm] h'(x)=(e-1)-e^x [/mm]

notwendige Bedingung: h'(x)=0

[mm] 0=(e-1)-e^x [/mm]
[mm] e^x=(e-1) [/mm]
x=ln(e-1)
[mm] x\approx0,541 [/mm]

Jetzt kommt die hinreichende Bedinung:
[mm] h''(x)\not=0 [/mm]
[mm] h''(x)=-e^x [/mm]
[mm] -e^x<0 [/mm] -> Hochpunkt

So, an dieser Stelle komme ich nicht weiter. Setze ich x=0,541 in h(x) ein, kommt etwas raus, was nicht sein kann. Wie geht es hier weiter bzw. welchen Fehler habe ich gemacht? Danke!
Johannes
        
Bezug
Extremwertaufgabe m. Intervall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:31 Mi 05.03.2008
Autor: MathePower

Hallo ZeroMPH,

[willkommenmr]

> Gegeben ist die Funktion f mit [mm]f(x)=e^x.[/mm]
>  a) Ermittle die Gleichung der Geraden g durch die Punkte
> P1(0/1) und P2(1/e) des Graphen der Funktion f. Fertige
> eine Zeichnung an.
>  
> b) Für welches x Element aus [0;1] ist g(x) - f(x) maximal?
> Berechne das Extremum.
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
>
> a) g(x)=(e-1)*x+1 [Diese Lösung müsste stimmen]

Stimmt. [ok]

>  
> Bei b) habe ich folgendes Problem: Wie bringe ich den
> Intervall [0;1] in die Rechnung ein?

Untersuche [mm]h\left(0\right)[/mm] bzw. [mm]h\left(1\right)[/mm].

>  
> h(x)=g(x)-f(x)
>  [mm]h(x)=(e-1)*x-e^x[/mm]
>  [mm]h'(x)=(e-1)-e^x[/mm]
>  
> notwendige Bedingung: h'(x)=0
>  
> [mm]0=(e-1)-e^x[/mm]
>  [mm]e^x=(e-1)[/mm]
>  x=ln(e-1)
>  [mm]x\approx0,541[/mm]

[ok]

>  
> Jetzt kommt die hinreichende Bedinung:
>  [mm]h''(x)\not=0[/mm]
>  [mm]h''(x)=-e^x[/mm]
>  [mm]-e^x<0[/mm] -> Hochpunkt

[ok]

>  
> So, an dieser Stelle komme ich nicht weiter. Setze ich
> x=0,541 in h(x) ein, kommt etwas raus, was nicht sein kann.
> Wie geht es hier weiter bzw. welchen Fehler habe ich
> gemacht? Danke!

Weiss ich nicht, da ich nicht weiss was nicht sein kann.

>  Johannes

Gruß
MathePower
Bezug
                
Bezug
Extremwertaufgabe m. Intervall: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 Mi 05.03.2008
Autor: ZeroMPH

Stimmt, nicht ganz so clever von mir das nicht anzugeben :)

Also:

[mm] h(x)=(e-1)*x-e^x [/mm]

x=0,541 in h(x)

h(0,541)=(e-1)*0,541-e^(0,541)
[mm] h(0,541)\approx-0,788 [/mm]

Stimmt das? Demnach wäre das Maximum (0,541/-0,788).

Bezug
                        
Bezug
Extremwertaufgabe m. Intervall: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:05 Mi 05.03.2008
Autor: chrisno

ist Dir nicht beim Aufstellen von h(x) ein +1 verloren gegangen?
Bezug
                                
Bezug
Extremwertaufgabe m. Intervall: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:18 Mi 05.03.2008
Autor: ZeroMPH

Tatsächlich... Vielen Dank für den Hinweis!
Bezug
                        
Bezug
Extremwertaufgabe m. Intervall: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:17 Mi 05.03.2008
Autor: ZeroMPH

Bei h(x) ist tatsächlich das +1 verlorengegangen:

[mm] h(x)=(e-1)*x+1-e^x [/mm]

Demnach käme bei x=0,541 in h(x) heraus:

h(0,541)=(e-1)*0,541+1-e^(0,541).
[mm] \approx0,212 [/mm]

Ist das jetzt richtig? Danke schonmal!!
Bezug
                                
Bezug
Extremwertaufgabe m. Intervall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:24 Mi 05.03.2008
Autor: leduart

Hallo
richtig
Gruss leduart
Bezug
        
Bezug
Extremwertaufgabe m. Intervall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:22 Mi 05.03.2008
Autor: leduart

Hallo
du hast bei h(x) die 1 von g(x) vergessen. das macht für h'=0 nix aus, wohl aber für h(0,5...)
Gruss leduart
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