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Forum "Uni-Analysis" - Extremwertaufgabe ohne NB
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Extremwertaufgabe ohne NB: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:18 Fr 24.06.2005
Autor: delpho

Hallo, bin bei folgender Aufgabe auf ein Problem gestoßen

f(x,y) = [mm] 2x^2(y-1)-4y^2 [/mm]

partielle Ableitung 1. Ordnung:

fx= 4xy- 4x- [mm] 4y^2 [/mm]
[mm] fy=2x^2-8y [/mm]

Als nächstes müßte ich die beiden Gleichungen durch gleichsetzen bzw. durch Einsetzungsverfahren die Werte x und oder y ermitteln. Leider habe ich jetzt keine Ahnung wie ich das bei speziell dieser Aufgabe mache, hat jemand vielleicht einen leicht verständlichen Lösungsweg parat?

mfg


        
Bezug
Extremwertaufgabe ohne NB: Korrektur + weitere Schritte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:48 Fr 24.06.2005
Autor: Loddar

Hallo delpho!


> f(x,y) = [mm]2x^2(y-1)-4y^2[/mm]
>  
> partielle Ableitung 1. Ordnung:
>  
> fx= 4xy- 4x- [mm]4y^2[/mm]

[notok] Hier habe ich etwas anderes raus ...

Multipliziere am besten doch mal aus:  $f(x,y) \ =\ [mm] 2x^2*y [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] - [mm] 4y^2$ [/mm]


> [mm]fy=2x^2-8y[/mm]

[ok]

  
> Als nächstes müßte ich die beiden Gleichungen durch
> gleichsetzen bzw. durch Einsetzungsverfahren die Werte x
> und oder y ermitteln. Leider habe ich jetzt keine Ahnung
> wie ich das bei speziell dieser Aufgabe mache, hat jemand
> vielleicht einen leicht verständlichen Lösungsweg parat?

Zunächst werden diese beiden partiellen Ableitungen [mm] $f_x$ [/mm] und [mm] $f_y$ [/mm] gleich Null gesetzt:  [mm] $f_x [/mm] \ = \ 0$    und    [mm] $f_y [/mm] \ = \ 0$


In unserem Fall kannst Du doch [mm] $f_y$ [/mm] ganz leicht nach y umstellen und dann in [mm] $f_x$ [/mm] einsetzen. Damit erhältst Du dann ziemlich schnell 3 mögliche x-Werte.

Daraus lassen sich dann die zugehörigen y-Werte ermitteln.

Schaffst Du das?

[ok] Klar doch!


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Extremwertaufgabe ohne NB: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:55 Fr 24.06.2005
Autor: delpho

oh man, man sollte natürlich richtig ableiten:

fx = 4xy-4x  :) ist hoffe ich richtig, danke nochmal loddar, ich werde es jetzt nochmal versuchen:)
Bezug
                
Bezug
Extremwertaufgabe ohne NB: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:13 Fr 24.06.2005
Autor: delpho

also wenn ich jetzt fy nach y umstelle, erhalte ich y = [mm] 0,25x^2 [/mm]

wenn ich das jetzt in fx einsetze, komme ich auf die gleichung [mm] 4x(0,25x^2)-4x [/mm] , was soviel wie [mm] x^3 [/mm] - 4x  ist, erraten habe ich die 1. Nullstelle x1 = 2, mit der Polynomdivision komme ich hier aber nicht weiter, oder habe ich wieder was falsch gemacht?


ich glaub ich hab die Lösung gefunden:

[mm] x^3-4x [/mm]  -->  x ausklammern [mm] x(x^2-4) [/mm]  = x2 = 0 x3=-2

würde mich über eine Bestätigung sehr freuen
Bezug
                        
Bezug
Extremwertaufgabe ohne NB: Anderes Vorgehen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:36 Fr 24.06.2005
Autor: MathePower

Hallo delpho,

> also wenn ich jetzt fy nach y umstelle, erhalte ich y =
> [mm]0,25x^2[/mm]
>  
> wenn ich das jetzt in fx einsetze, komme ich auf die
> gleichung [mm]4x(0,25x^2)-4x[/mm] , was soviel wie [mm]x^3[/mm] - 4x  ist,
> erraten habe ich die 1. Nullstelle x = 2, mit der
> Polynomdivision komme ich hier aber nicht weiter, oder habe
> ich wieder was falsch gemacht?

Du hast gar nichts falsch gemacht. Da kann doch noch etwas ausgeklammert werden.

Betrachte doch einfach [mm]f_{x}\;=\;4\;x\;(y\;-\;1)\;=\;0[/mm]
Ein Produkt wird genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist., hier also x=0 oder y=1. Setze das nun in [mm]f_{y}\;=\;2\;x^{2}\;-\;8\;y\;=\;0[/mm] ein, so erhältst Du dann den jeweils anderen Wert.

Gruß
MathePower
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