Extremwertberechnung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 Mo 13.08.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] f_{(s,t)}=s*ln(s+t)-t. [/mm] Skizzieren sie den Definitionsbereich von f im s-t-Koordinatensystem.
Untersuchen sie die Funktion auf relative Extremwerte.
|
Hallo,
ich steh wieder mal vor Problemen. Zum einen der Teil mit dem Definitionsbereich, zum anderen die Extremwerte. Also eigentlich die ganze Aufgabe.
Als Definitionsbereich hab ich: [mm] D_{f}=s+t>0 [/mm] bzw. s>-t
Allerdings weiß ich nicht wie ich das Skizzieren soll...
Bei den Extremwerten:
Notwendige Bedingung:
[mm] f_{s}=ln(s+t)+\bruch{s}{s+t} [/mm] ; [mm] f_{t}=\bruch{s}{s+t}-1
[/mm]
Dann das Gleichungssystem:
1. [mm] ln(s+t)+\bruch{s}{s+t}=0
[/mm]
2. [mm] \bruch{s}{s+t}-1=0
[/mm]
aus 2.: s=s+t ; t=0
t=0 in 1.: [mm] s=e^{-1}
[/mm]
Also hab ich meinen Extremwertverdächtigen Punkt bei [mm] (e^{-1}/0)
[/mm]
So, jetzt die hinreichende Bedingung
[mm] f_{ss}=\bruch{1}{s+t}+\bruch{t}{(s+t)^{2}}
[/mm]
[mm] f_{tt}=-\bruch{s}{(s+t)^{2}}
[/mm]
[mm] f_{ts}=\bruch{t}{(s+t)^{2}}
[/mm]
Das mit dem (verdächtigen) Extremwert in der Hessematrix:
[mm] H=\pmat{ e^{1} & 0 \\ 0 & -e^{1} }
[/mm]
[mm] detH=-e^{2}, [/mm] das ist kleiner Null, also muss der Punkt [mm] (e^{1}/0) [/mm] ein Sattelpunkt sein.
In der Musterlösung steht allerdings die Funktion habe keine relativen Extremwerte.
...versteh ich nicht...
Vielen Dank für eure Hilfe
MfG
Stefan
|
|
| |
|
Hallo Stefan,
zum einen hast du dich glaube ich beim Einsetzen von [mm] (s,t)=(e^{-1},0) [/mm]
in die partiellen Ableitungen verrechnet, ich meine, da müsste diese
Hesse-Matrix rauskommen:
[mm] \red{\text{EDIT: Nein, du hast dich nicht verrechnet, sondern ICH}} [/mm] 
[mm] $H=\pmat{ e^{-3} & 0 \\ 0 & -e^{-3} }$ [/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] \red{\text{Deine Hesse-Matrix ist richtig}}
[/mm]
Zum anderen musst du doch für die Überprüfung der Definitheit von $H$
checken, ob alle [mm] \underline{\text{Eigenwerte}} [/mm] von $H$ >0 [mm] \red{(\ge 0)} [/mm] sind [mm] (\Rightarrow [/mm] positiv [mm] \red{(semi-)}definit) [/mm] oder umgekehrt... sind
Gibt es positive UND negative Eigenwerte, ist $H$ indefinit
Setze also an: [mm] $H-\lambda\cdot{}\mathbb{E}_2=\pmat{ e-\lambda & 0 \\ 0 & -e-\lambda }$ [/mm] und berechne die NST des charakt. Polynoms
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Mo 13.08.2007 | | Autor: | polyurie |
Erstmal danke für die Antwort.
Wir haben das mit den Extremwerten immer ohne Eigenwerte oder Definitheit gemacht.
So:
[mm] gradf_{(x_{0},y_{0})}=\vec{0}
[/mm]
wenn nein: Kein relatives Extremum in [mm] (x_{0},y_{0})
[/mm]
Wenn ja:
det [mm] H_{f}<0: [/mm] Sattelpunkt in [mm] (x_{0},y_{0})
[/mm]
oder
det [mm] H_{f}=0: [/mm] keine Entscheidung über dieses Kriterium möglich
oder
det [mm] H_{f}>0: [/mm] ist [mm] f_{xx(x_{0},_{0})}>0???
[/mm]
wenn ja: relatives Minimum
wenn nein: relatives Maximum
Ich hoffe ich hab das einigermaßen verständlich aufgeschrieben. Wir haben das immer nach diesem Schema gemacht, also ohne Eigenwerte usw. Hat bisher auch immer funktioniert.
Könnte mir die Aufgabe bitte jemand nach diesem Schema erklären?
Danke
Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo
Du hast dir doch die Aufgabe schon selber nach diesem "Schema" erklärt.
Der kritische Punkt ist hier ein Sattelpunkt, da die Determinante der Hessematrix kleiner als 0 ist.
Außerdem sind die Eigenwerte der Hessematrix hier +e und -e.
Dies zeigt auch, dass der Punkt (1/e|0) ein Sattelpunkt ist.
Gruß
Reinhold
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Mo 13.08.2007 | | Autor: | polyurie |
Ja, eigentlich klar, mich hat nur irritiert das in der Musterlösung steht: die Funktion hat keine Extremwerte. Kann natürlich sein das ein Sattelpunkt nicht als Extremwert zählt...
Kann aber auch sein das ich mich verrechnet habe.
Hat noch jemand eine Idee zu dem Definitionsbereich???
|
|
|
| |
|
Meines Wissens zählt der Sattelpunkt nicht zu den Extrempunkten.
Den Definitionsbereich hast du auch schon ganz richtig angegeben.
s+t muss größer als 0 sein, da der Logarithmus von 0 und negativen Zahlen (im Reelen) nicht definiert ist.
Gruß
Reinhold
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 Mo 13.08.2007 | | Autor: | polyurie |
Ja, danke erstmal für die Antworten. Hab aber Probleme den Definitionsbereich in einer Skizze darzustellen. Wie macht man das?
Wenn diese Frage beantwortet ist, lass ich euch in Ruhe
...für heute:)
|
|
|
| |
|
Hi nochmal,
also [mm] $s+t>0\gdw [/mm] s>-t$
in nem s,t-Koordinatensystem ist doch s=-t die 1.Winkelhalbierende gespiegelt an der s-Achse.
(in nem "normalen" (x,y) Koordinatensystem die Gerade y=-x)
Dann ist der Definitionsbereich doch graphisch gesehen die Halbebene oberhalb dieser Geraden, wenn ich nicht gerade völlig naben mir stehe ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:39 Mo 13.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du mit dem Rad fährst und ne momentan waagerechte Stelle passierst fändest du die doch auch nicht "extrem" aber den Gipfel und die Talsohle schon.
Sattelpkt ist wie die Extrema ein "stationärer" Punkt.
Skizzieren des Def. bereichs: zeichne die Gerade t=-s das Defgeb. liegt halt dann oberhalb!
Gruss leduart
|
|
|
|
