Extremwertbestimmung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:20 Di 29.05.2012 | | Autor: | Master1991 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(t) = ( sin²(t) ) / [mm] ((1-c*cos(t))^5) [/mm] mit c element (0,1)
Berechnen Sie alle Extremalstellen von f und bestimmen Sie, ob es sich um Minima oder Maxima handelt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
So ich habe das ganze gedöns da oben Mittels Ketten und Quotientenregel abgeleitet.
Als nächstes müsste ich das dann ja =0 setzen und hätte dann die Extremstellen, die ich dann in f'' einsetzen müsste um auf min ode rmaximum zu prüfen.
Ja schön und gut aber da kommt so ein ewig langer Term raus den ich nicht mal zusammengefasst bekomme, wie soll ich den denn nun algebraisch = 0 setzen? (Ich weiß das [mm] \pi [/mm] * n die Nullstellen sind aber wie erkenn ich das) ?
mfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Di 29.05.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Master1991,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Grundsätzlich klingt Deine Vorgehensweise gut und richtig. Aber wie lauten denn Deine Ableitungen? Bitte verrate uns diese doch auch.
Gruß
Loddar
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Also gut: (hab nur die erste Ableitung bisher)
f'(t) =( 2*sin(t)*cos(t) * [mm] (1-c*cos(t))^5 [/mm] - [mm] sin^2(t)*5(1-2*cos(t))^4*c*sin(t) [/mm] ) / [mm] ((1-c*cos(t)^5)^2 [/mm] )
Ich hoffe das kann man lesen, mit dem Formeleditor komm ich auf die schnelle nicht klar
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> Also gut: (hab nur die erste Ableitung bisher)
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> f'(t) =( 2*sin(t)*cos(t) * [mm](1-c*cos(t))^5[/mm] -
> [mm]sin^2(t)*5(1-2*cos(t))^4*c*sin(t)[/mm] ) / [mm]((1-c*cos(t)^5)^2[/mm] )
>
> Ich hoffe das kann man lesen, mit dem Formeleditor komm ich
> auf die schnelle nicht klar
Hallo,
.
Gesucht sind die Extrema von
f(t) = [mm]\bruch{sin^2(t) }{ (1-c\cdot{}cos(t))^5}[/mm] mit [mm] c\in [/mm] (0,1),
und als Ableitung hast Du - ein wenig in Form gebracht - errechnet:
f'(t)=[mm]\bruch{2*\sin(t)*\cos(t) * (1-c*\cos(t))^5 - \sin^2(t)*5(1-c\cdot{}cos(t))^4*c*\sin(t)}{(1-c*\cos(t))^{10}}[/mm].
Das ist, soweit ich sehe, richtig.
Du kannst Dir nun die Angelegenheit vereinfachen, indem Du im Zähler soviel wie möglich ausklammerst.
Ausklammern kannst Du auf jeden Fall schonmal [mm] \sin(t)*(1-c*\cos(t))^4.
[/mm]
Dann kürzen und anschließend mal gucken, was im Zähler so stehen bleibt, und ob man dort noch etwas vereinfachen kann.
Später willst Du ja f'(t)=0 lösen.
Beachte, daß Du dazu nur herausfinden mußt, wann der Zähler =0 wird.
Schauen wir aber erstmal, wie weit Du nun kommst.
LG Angela
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Also dann bleibt bei mir da noch übrig:
(sin(t) * (2(1-c*cos(t))-sin(t)*5*c*sin(t)) )/ [mm] ((1-c*cos(t))^6 [/mm] )
Warum muss denn nur der Zähler zu Null werden? Und ist das soweit erstmal richtig?
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> Also dann bleibt bei mir da noch übrig:
>
> [mm](sin(t) * (2(1-c*cos(t))-sin(t)*5*c*sin(t)) )/ ((1-c*cos(t))^6[/mm] )[/mm]
Hallo,
bitte poste so, daß man Deine Rechnung nachvollziehen kann, Funktion, Ableitung, Zwischenschritte. Mit paste© macht das doch nicht viel Mühe.
Es war
f(t) = [mm] \bruch{sin^2(t) }{ (1-c\cdot{}cos(t))^5} [/mm] mit [mm] c\in [/mm] (0,1),
Übrigens sollte man den Nenner hier mal genauer unter die Lupe nehmen: für kein t wird er zu 0. Das ist wichtig, sonst müßte man Stellen aus dem Definitionsbereich ausschließen.
f'(t)=[mm] \bruch{2\cdot{}\sin(t)\cdot{}\cos(t) \cdot{} (1-c\cdot{}\cos(t))^5 - \sin^2(t)\cdot{}5(1-c\cdot{}cos(t))^4\cdot{}c\cdot{}\sin(t)}{(1-c\cdot{}\cos(t))^{10}} [/mm].
=[mm]\sin(t) *\bruch{2\cos(t)(1-c\cdot{}\cos(t)) - 5c\sin^2(t)}{(1-c\cdot{}\cos(t))^{6}} [/mm]
> ist das
> soweit erstmal richtig?
Wenn Du mit Deinem vergleichst, siehst Du, daß Du ein cos(t) vergessen hattest.
> Warum muss denn nur der Zähler zu Null werden?
Ein Bruch ist =0, wenn der Zähler 0 ist.
Oder anders:
[mm] 0=$\sin(t) *\bruch{2\cos(t)(1-c\cdot{}\cos(t)) - 5c\sin^2(t)}{(1-c\cdot{}\cos(t))^{6}} $\qquad\quad |*(1-c\cdot{}\cos(t))^{6}
[/mm]
<==>
[mm] 0=\sin(t) *[2\cos(t)(1-c\cdot{}\cos(t)) [/mm] - [mm] 5c\sin^2(t)]
[/mm]
Diese Gleichung ist erfüllt, sofern sin(t)=0 oder der andere Faktor, [mm] 2\cos(t)(1-c\cdot{}\cos(t)) [/mm] - [mm] 5c\sin^2(t)=0.
[/mm]
LG Angela
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Ja irgendwie versteht ich diesen Forumsaufbau nicht so ganz; muss man hier immer wieder alles posten oder wie läuft das?
Naja jedefalls. Ist es dann ja logisch denn sin(t) hat nullstellen bei [mm] \pi [/mm] * n
Damit hat man dann schonmal die Nullstellen und die muss ich dann ja "nur noch" in die 2te Ableitung einsetzen und gucken ob für welche Werte diese größer oder kleiner null wird, richtig?
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> Ja irgendwie versteht ich diesen Forumsaufbau nicht so
> ganz; muss man hier immer wieder alles posten oder wie
> läuft das?
Hallo,
mit dem Forumsaufbau hat das, was ich schrieb, nichts zu tun. Sondern ich gab Dir den Tip, daß es ganz gut ist, eine Rückfrage so zu gestalten, daß der, der Dir helfen möchte, alles unbedingt notwendige auf einen Blick sieht.
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> Naja jedefalls. Ist es dann ja logisch denn sin(t) hat
> nullstellen bei [mm]\pi[/mm] * n
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> Damit hat man dann schonmal die Nullstellen
Sind es wirklich alle? Ich hab's nicht nachgerechnet, aber ich gehe davon aus, daß der zweite Faktor auch noch welche hat.
> und die muss
> ich dann ja "nur noch" in die 2te Ableitung einsetzen und
> gucken ob für welche Werte diese größer oder kleiner
> null wird, richtig?
Ja.
LG Angela
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