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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Di 31.08.2004 | | Autor: | bionda |
Hallo,
ich übe gerade das Berechnen von Extremwertproblemen /- aufgaben, leider komme ich beim Einsetzen der Nebenbedingung in die Zielfunktion immer auf eine Funktion, die ICH nicht ableiten kann. Was mache ich falsch? Ich habe mal eine solche Aufgabe,bei der ich auf keine sinnvolle Ableitung komme, herausgesucht:
Welches Rechteck mit der Fläche A= 120 cm² hat die kleinste Diagonallänge?
Bitte helft mir!! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Di 31.08.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo bionda
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo,
> ich übe gerade das Berechnen von Extremwertproblemen /-
> aufgaben, leider komme ich beim Einsetzen der
> Nebenbedingung in die Zielfunktion immer auf eine Funktion,
> die ICH nicht ableiten kann. Was mache ich falsch? Ich habe
> mal eine solche Aufgabe,bei der ich auf keine sinnvolle
> Ableitung komme, herausgesucht:
> Welches Rechteck mit der Fläche A= 120 cm² hat die
> kleinste Diagonallänge?
> Bitte helft mir!! :)
>
Wenn du uns nicht sagst, was du denn überhaupt machst, kann man wohl kaum sagen, was du falsch machst. Bitte poste doch in Zukunft deine Versuche mit, damit der Fehler gezielt gesucht werden kann!
Nun, bei deine Aufgabe würde ich mal so vorgehen:
Bezeichne die Diagonale mit $y$, die Länge das Rechtecks mit $x$ und die Breite mit $z$
Dann gilt:
$x*z=120$ (Nebenbedingung)
[mm] $y=\wurzel{x^{2}+z^{2}}$ [/mm] (das soll minimal werden)
Aus der Nebenbedingung sieht man:
[mm] $z=\bruch{120}{x}$
[/mm]
dies wird in der 2. Gleichung eingesetzt:
[mm] $y=\wurzel{x^{2}+(\bruch{120}{x})^{2}}$
[/mm]
Damit dies minimal wird, muss die erste Ableitung davon $=0$ werden.
Kommst du damit nun zurecht? Falls nicht: einfach weiter fragen! 
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Di 31.08.2004 | | Autor: | bionda |
Danke, doch genau das schaffe ich alleine, das Aufstellen der Zielfunktion und der Nebenbedingung sowie das Einsetzen dieser ist kein Problem (hatte ich doch auch so gepostet, oder?!) Ich komme auf dieselbe Zielfunktion, doch ich kann die nicht ableiten. Also: Mein Problem ist das Ableiten, um sinnvoll weiterrechnen zu können. :)
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Ein Tip:
Sucht man eine Extremstelle von [mm]y=\sqrt{s(x)}[/mm], so kann man stattdessen auch von [mm]y^2=s(x)[/mm] die Extremstellen suchen - es sind dieselben (Grund: die Wurzelfunktion ist streng monoton wachsend).
Dasselbe funktioniert auch mit jeder anderen Verkettung [mm]y=f\left(g(x)\right)[/mm], wenn f streng monoton wachsend ist: Statt der Extremstellen von [mm]f\left(g(x)\right)[/mm] suche man die von [mm]g(x)[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:39 Di 31.08.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Leopold
> Ein Tip:
>
> Sucht man eine Extremstelle von [mm]y=\sqrt{s(x)}[/mm], so kann man
> stattdessen auch von [mm]y^2=s(x)[/mm] die Extremstellen suchen - es
> sind dieselben (Grund: die Wurzelfunktion ist streng
> monoton wachsend).
> Dasselbe funktioniert auch mit jeder anderen Verkettung
> [mm]y=f\left(g(x)\right)[/mm], wenn f streng monoton wachsend ist:
> Statt der Extremstellen von [mm]f\left(g(x)\right)[/mm] suche man
> die von [mm]g(x)[/mm].
>
Danke für den Tipp. Ich denke aber, dass es nur die halbe Wahrheit ist.
Es ist ja [mm] $(y^{2})' [/mm] = 2yy'$
Wenn ich das $=0$ setze, also $2yy'=0$, dann erhalte ich als Lösung $y'=0$ ODER $y=0$. Bei der Wurzel kommt dann auch noch ein 'nicht definierter Funktionswert' hinzu. Ohne eine Nach-Untersuchung komme ich also nicht herum, wenn ich den Tipp anwende.
Als Beispiel:
[mm] $y=\wurzel{x^{2}-1}$
[/mm]
Hier ist also
[mm] $y^{2}=x^{2}-1$
[/mm]
Diese Funktion hat bei der Stelle $x=0$ ein Minimum.
ABER: [mm] $y=\wurzel{x^{2}-1}$ [/mm] ist bei $x=0$ nicht definiert, die Nachuntersuchung war unumgänglich.
Dein Tipp ist aber insofern recht nützlich, als er den Prozess des Ableitens wesentlich vereinfachen kann!
Mit lieben Grüssen
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Ich meine das auch anders, als du es verstanden hast. Dann will ich klarer werden.
Zu einer ordentlichen Funktionsdefinition gehört außer der Funktionsvorschrift zumindest die Angabe des Definitionsbereiches. Nehmen wir also zwei (differenzierbare) Funktionen f,g, so daß die Verkettung [mm]h=f \circ g[/mm] für x aus einem gewissen Intervall I definiert ist:
[mm]h: \ \ x \mapsto f\left(g(x)\right) \, , \ \ x \in I[/mm]
Ist nun f streng monoton wachsend, so befinden sich die lokalen Minima (Maxima) von h an genau denselben Stellen, an denen
[mm]g: \ \ x \mapsto g(x) \, , \ \ x \in I[/mm]
lokale Minima (Maxima) hat.
Das folgt einfach daraus, daß f die von [mm]\mathbb{R}[/mm] induzierte Anordnung erhält.
(Ist übrigens f streng monoton fallend, so tauschen die lokalen Minima und Maxima ihre Rollen.)
Zu deinem Beispiel:
[mm]f(u)=\sqrt{u} \ , \ \ g(x)=x^2-1 \ , \ \ h(x)=(f \circ g)(x)=\sqrt{x^2-1} \ ; \ \ x \in \left[ 1\, , \infty \right)[/mm]
Die Wurzelfunktion ist streng monoton wachsend, also sind die lokalen Extrema von h an denselben Stellen wie bei der Funktion
[mm]g: \ \ x \mapsto x^2-1 \, , \ \ x \in \left[ 1\, , \infty \right)[/mm].
Jetzt besitzt g aber überhaupt keine lokalen Extrema (man beachte den Definitionsbereich!), also auch h nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:49 Mi 01.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Leopold
danke für die ausführliche Beschreibung!
So bin auch ich einverstanden mit der Aussage. In die Irre geführt hat mich wohl das [mm] $y^2$ [/mm] bei [mm] $y^2=s(x)$, [/mm] welches ich dann verallgemeinert habe. Sorry!
Mit lieben Grüssen
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Um den in meinem vorigen Beitrag geschilderten Zusammenhang zu demonstrieren, will ich das Maximum der Funktion
[mm]h:\ \ x \mapsto \sqrt{x^2+\frac{120^2}{x^2}} \, , \ x>0[/mm]
einmal anders bestimmen. Dazu betrachte ich
[mm]f: \ \ u \mapsto \sqrt{u^2-240} \, , \ u>\sqrt{240} [/mm]
[mm]g: \ \ x \mapsto x+\frac{120}{x} \, , \ x>0[/mm]
Zunächst berechne ich das globale Minimum von g. Ein solches muß im offenen Intervall x>0 existieren, da g(x) für [mm]x \to 0[/mm] bzw. [mm]x \to \infty[/mm] über alle Grenzen wächst.
[mm]g'(x)=1-\frac{120}{x^2}=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x=\sqrt{120}[/mm]
Da g' keine weiteren Nullstellen besitzt, liegt bei [mm]\sqrt{120}[/mm] das globale Minimum. Für alle x>0 gilt daher:
[mm]g(x) \geq g(\sqrt{120})=2\sqrt{120}[/mm]. Dieser Wert ist größer als [mm]\sqrt{240}[/mm], so daß die Verkettung von f und g möglich ist. Es gilt gerade [mm]h=f \circ g[/mm].
Nun ist f offensichtlich streng monoton wachsend (denn u²-240 ist für [mm]u>\sqrt{240}[/mm] streng monoton wachsend, ebenso die Wurzelfunktion, also auch deren Verkettung). Damit hat h bei [mm]\sqrt{120}[/mm] sein globales Minimum.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:33 Mi 01.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Leopold
das ist wirklich schön und einleuchtend!
vielen Dank für deinen Einsatz!
mit lieben Grüssen
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