www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenExtremwertproblemeExtremwerte
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Extremwertprobleme" - Extremwerte
Extremwerte < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Extremwertprobleme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Extremwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:17 Di 31.08.2004
Autor: bionda

Hallo,
ich übe gerade das Berechnen von Extremwertproblemen /- aufgaben, leider komme ich beim Einsetzen der Nebenbedingung in die Zielfunktion immer auf eine Funktion, die ICH nicht ableiten kann. Was mache ich falsch? Ich habe mal eine solche Aufgabe,bei der ich auf keine sinnvolle Ableitung komme, herausgesucht:
Welches Rechteck mit der Fläche A= 120 cm² hat die kleinste Diagonallänge?
Bitte helft mir!! :)

        
Bezug
Extremwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:05 Di 31.08.2004
Autor: Paulus

Hallo bionda

[willkommenmr]

> Hallo,
>  ich übe gerade das Berechnen von Extremwertproblemen /-
> aufgaben, leider komme ich beim Einsetzen der
> Nebenbedingung in die Zielfunktion immer auf eine Funktion,
> die ICH nicht ableiten kann. Was mache ich falsch? Ich habe
> mal eine solche Aufgabe,bei der ich auf keine sinnvolle
> Ableitung komme, herausgesucht:
>  Welches Rechteck mit der Fläche A= 120 cm² hat die
> kleinste Diagonallänge?
>  Bitte helft mir!! :)
>  

Wenn du uns nicht sagst, was du denn überhaupt machst, kann man wohl kaum sagen, was du falsch machst. Bitte poste doch in Zukunft deine Versuche mit, damit der Fehler gezielt gesucht werden kann!

Nun, bei deine Aufgabe würde ich mal so vorgehen:

Bezeichne die Diagonale mit $y$, die Länge das Rechtecks mit $x$ und die Breite mit $z$

Dann gilt:
$x*z=120$ (Nebenbedingung)
[mm] $y=\wurzel{x^{2}+z^{2}}$ [/mm] (das soll minimal werden)

Aus der Nebenbedingung sieht man:

[mm] $z=\bruch{120}{x}$ [/mm]

dies wird in der 2. Gleichung eingesetzt:

[mm] $y=\wurzel{x^{2}+(\bruch{120}{x})^{2}}$ [/mm]

Damit dies minimal wird, muss die erste Ableitung davon $=0$ werden.

Kommst du damit nun zurecht? Falls nicht: einfach weiter fragen! :-)

Mit lieben Grüssen




Bezug
                
Bezug
Extremwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:29 Di 31.08.2004
Autor: bionda

Danke, doch genau das schaffe ich alleine, das Aufstellen der Zielfunktion und der Nebenbedingung sowie das Einsetzen dieser ist kein Problem (hatte ich doch auch so gepostet, oder?!) Ich komme auf dieselbe Zielfunktion, doch ich kann die nicht ableiten. Also: Mein Problem ist das Ableiten, um sinnvoll weiterrechnen zu können. :)

Bezug
                        
Bezug
Extremwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:01 Di 31.08.2004
Autor: Leopold_Gast

Ein Tip:

Sucht man eine Extremstelle von [mm]y=\sqrt{s(x)}[/mm], so kann man stattdessen auch von [mm]y^2=s(x)[/mm] die Extremstellen suchen - es sind dieselben (Grund: die Wurzelfunktion ist streng monoton wachsend).
Dasselbe funktioniert auch mit jeder anderen Verkettung [mm]y=f\left(g(x)\right)[/mm], wenn f streng monoton wachsend ist: Statt der Extremstellen von [mm]f\left(g(x)\right)[/mm] suche man die von [mm]g(x)[/mm].

Bezug
                                
Bezug
Extremwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:39 Di 31.08.2004
Autor: Paulus

Hallo Leopold

> Ein Tip:
>  
> Sucht man eine Extremstelle von [mm]y=\sqrt{s(x)}[/mm], so kann man
> stattdessen auch von [mm]y^2=s(x)[/mm] die Extremstellen suchen - es
> sind dieselben (Grund: die Wurzelfunktion ist streng
> monoton wachsend).
>  Dasselbe funktioniert auch mit jeder anderen Verkettung
> [mm]y=f\left(g(x)\right)[/mm], wenn f streng monoton wachsend ist:
> Statt der Extremstellen von [mm]f\left(g(x)\right)[/mm] suche man
> die von [mm]g(x)[/mm].
>  

Danke für den Tipp. Ich denke aber, dass es nur die halbe Wahrheit ist.

Es ist ja [mm] $(y^{2})' [/mm] = 2yy'$

Wenn ich das $=0$ setze, also $2yy'=0$, dann erhalte ich als Lösung $y'=0$ ODER $y=0$. Bei der Wurzel kommt dann auch noch ein 'nicht definierter Funktionswert' hinzu. Ohne eine Nach-Untersuchung komme ich also nicht herum, wenn ich den Tipp anwende.

Als Beispiel:

[mm] $y=\wurzel{x^{2}-1}$ [/mm]

Hier ist also
[mm] $y^{2}=x^{2}-1$ [/mm]

Diese Funktion hat bei der Stelle $x=0$ ein Minimum.

ABER: [mm] $y=\wurzel{x^{2}-1}$ [/mm] ist bei $x=0$ nicht definiert, die Nachuntersuchung war unumgänglich.

Dein Tipp ist aber insofern recht nützlich, als er den Prozess des Ableitens wesentlich vereinfachen kann! :-)

Mit lieben Grüssen

Bezug
                                        
Bezug
Extremwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:53 Mi 01.09.2004
Autor: Leopold_Gast

Ich meine das auch anders, als du es verstanden hast. Dann will ich klarer werden.

Zu einer ordentlichen Funktionsdefinition gehört außer der Funktionsvorschrift zumindest die Angabe des Definitionsbereiches. Nehmen wir also zwei (differenzierbare) Funktionen f,g, so daß die Verkettung [mm]h=f \circ g[/mm] für x aus einem gewissen Intervall I definiert ist:
[mm]h: \ \ x \mapsto f\left(g(x)\right) \, , \ \ x \in I[/mm]

Ist nun f streng monoton wachsend, so befinden sich die lokalen Minima (Maxima) von h an genau denselben Stellen, an denen
[mm]g: \ \ x \mapsto g(x) \, , \ \ x \in I[/mm]
lokale Minima (Maxima) hat.
Das folgt einfach daraus, daß f die von [mm]\mathbb{R}[/mm] induzierte Anordnung erhält.
(Ist übrigens f streng monoton fallend, so tauschen die lokalen Minima und Maxima ihre Rollen.)

Zu deinem Beispiel:
[mm]f(u)=\sqrt{u} \ , \ \ g(x)=x^2-1 \ , \ \ h(x)=(f \circ g)(x)=\sqrt{x^2-1} \ ; \ \ x \in \left[ 1\, , \infty \right)[/mm]
Die Wurzelfunktion ist streng monoton wachsend, also sind die lokalen Extrema von h an denselben Stellen wie bei der Funktion
[mm]g: \ \ x \mapsto x^2-1 \, , \ \ x \in \left[ 1\, , \infty \right)[/mm].
Jetzt besitzt g aber überhaupt keine lokalen Extrema (man beachte den Definitionsbereich!), also auch h nicht.

Bezug
                                                
Bezug
Extremwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:49 Mi 01.09.2004
Autor: Paulus

Hallo Leopold

danke für die ausführliche Beschreibung!
So bin auch ich einverstanden mit der Aussage. In die Irre geführt hat mich wohl das [mm] $y^2$ [/mm] bei [mm] $y^2=s(x)$, [/mm] welches ich dann verallgemeinert habe. Sorry!

Mit lieben Grüssen

Bezug
                                                        
Bezug
Extremwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:34 Mi 01.09.2004
Autor: Leopold_Gast

Um den in meinem vorigen Beitrag geschilderten Zusammenhang zu demonstrieren, will ich das Maximum der Funktion
[mm]h:\ \ x \mapsto \sqrt{x^2+\frac{120^2}{x^2}} \, , \ x>0[/mm]
einmal anders bestimmen. Dazu betrachte ich
[mm]f: \ \ u \mapsto \sqrt{u^2-240} \, , \ u>\sqrt{240} [/mm]
[mm]g: \ \ x \mapsto x+\frac{120}{x} \, , \ x>0[/mm]

Zunächst berechne ich das globale Minimum von g. Ein solches muß im offenen Intervall x>0 existieren, da g(x) für [mm]x \to 0[/mm] bzw. [mm]x \to \infty[/mm] über alle Grenzen wächst.
[mm]g'(x)=1-\frac{120}{x^2}=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x=\sqrt{120}[/mm]
Da g' keine weiteren Nullstellen besitzt, liegt bei [mm]\sqrt{120}[/mm] das globale Minimum. Für alle x>0 gilt daher:
[mm]g(x) \geq g(\sqrt{120})=2\sqrt{120}[/mm]. Dieser Wert ist größer als [mm]\sqrt{240}[/mm], so daß die Verkettung von f und g möglich ist. Es gilt gerade [mm]h=f \circ g[/mm].
Nun ist f offensichtlich streng monoton wachsend (denn u²-240 ist für [mm]u>\sqrt{240}[/mm] streng monoton wachsend, ebenso die Wurzelfunktion, also auch deren Verkettung). Damit hat h bei [mm]\sqrt{120}[/mm] sein globales Minimum.

Bezug
                                                                
Bezug
Extremwerte: Dank
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:33 Mi 01.09.2004
Autor: Paulus

Hallo Leopold

das ist wirklich schön und einleuchtend! :-)

vielen Dank für deinen Einsatz!

mit lieben Grüssen

Bezug
                        
Bezug
Extremwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:09 Di 31.08.2004
Autor: Paulus

Hallo bionda

eigentlich habe ich das vermutet, ich wollte nur ein wenig provozieren! ;-)

also: die Funktion lautet: [mm] $y=\wurzel{x^{2}+(\bruch{120}{x})^{2}}$ [/mm]

Vielleicht formt man noch ein wenig um:

$y = [mm] \wurzel{\bruch{x^{4}+120^2}{x^{2}}}$ [/mm]

$y = [mm] \bruch{\wurzel{x^{4}+120^{2}}}{x}$ [/mm]

Um dies ableiten zu können, musst du nur 2 Regeln kennen:

1) Wie leiete ich einen Bruch ab? [mm] $(\bruch{f}{g})' [/mm] = [mm] \bruch{f'g-fg'}{g^{2}}$ [/mm]

2) $(f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x)$ (Aeussere Ableitung mal innere Ableitung)

Versuchen wir also mal den Zähler abzuleiten: [mm] $\wurzel{x^{4}+120^{2}}$ [/mm]

Das lässt sich einfacher so schreiben: $ [mm] (x^{4}+120^{2})^{1/2} [/mm] $

Die äussere Ableitung: (nach der Regel: [mm] $(x^\alpha)' [/mm] = [mm] \alpha [/mm] * [mm] x^{\alpha -1}$ [/mm]

[mm] $\bruch{1}{2}*(x^{4}+120^{2})^{-1/2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2(x^{4}+120^{2})^{1/2}}$ [/mm]

Die innere Ableitung ist einfach: [mm] $4x^{3}$ [/mm]

somit ist die Ableitung des Zählers: $ [mm] \bruch{4x^{3}}{2(x^{4}+120^{2})^{1/2}} [/mm] = [mm] \bruch{2x^{3}}{(x^{4}+120^{2})^{1/2}}$ [/mm]

Jetzt kannst du einfach noch die Regel 1) von oben anwenden. ich komme dann auf(die Details überlasse ich dir. Wenn du damit aber noch nicht klar kommst, dann meldest du dich einfach wieder!):

[mm] $y'=\bruch{x^{4}-120^{2}}{x^{2}*\wurzel{x^{4}+120^{2}}}$ [/mm]

Das soll $= 0$ sein. Das ist der Fall, wenn der Zähler $= 0$ ist.

Also:

[mm] $x^{4}=120^{2}$ [/mm]

[mm] $x^{2}=120$ [/mm]

[mm] $x=\wurzel{120}$ [/mm]

Dann wird auch [mm] $z=\wurzel{120}$, [/mm] womit die Lösung, wie schon lange erwartet (Symmetrieeigenschaften), ein Quadrat ist. :-)

Mit lieben Grüssen


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Extremwertprobleme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]