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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:57 Mi 05.04.2006 | | Autor: | cat112 |
| Aufgabe | | ich soll bei folgender Funktion [mm] f(x)=x^3 [/mm] - [mm] 6x^2 [/mm] + 9x - 5 die lokalen und globalen Extremwerte im Intervall [-4;4] und Minima und Maxima bestimmen. |
Hi,
f'(x) = [mm] 3x^2 [/mm] - 12x + 9
als lokale Extremwerte hab ich 3 und 1.
als Minimum f(-4)=-201 und als maximum f(4)= -1. (sind diese lokal oder global?
stimmt das soweit?
wie bekomme ich den globalen Extremwert und die anderen Maxima und Minima?
danke.
cu andy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Mi 05.04.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Andrea!
> ich soll bei folgender Funktion [mm]f(x)=x^3[/mm] - [mm]6x^2[/mm] + 9x - 5
> die lokalen und globalen Extremwerte im Intervall [-4;4]
> und Minima und Maxima bestimmen.
> Hi,
>
> f'(x) = [mm]3x^2[/mm] - 12x + 9
> als lokale Extremwerte hab ich 3 und 1.
Das sind erstmal nur die x-Werte, die zugehörigen y-Werte sind -5 und -1. Jetzt müßte man vllt noch mit der 2. Ableitung prüfen, ob es wirklich lokale Extremwerte sind. Aber dem ist so!
> als Minimum f(-4)=-201 und als maximum f(4)= -1. (sind
> diese lokal oder global?
Die Werte habe ich auch. Für x = -4 kriegen wir also ein globales Minimum, das ist nach meinem Verständnis dann automatisch auch ein lokales. Für x = 1 habe ich ein lokales Maximum, das aber zufällig auch ein globales ist. Für x = 3 kriege ich ein echtes lokales Minimum. Und für x = 4 habe ich ein globales Maximum, das wiederum automatisch auch ein lokales ist.
>
> stimmt das soweit?
>
> wie bekomme ich den globalen Extremwert und die anderen
> Maxima und Minima?
Grundsätzlich findest du über die 1. Ableitung lokale Extremwerte, weil du so Punkte mit waagerechter Tangente suchst. An den Rändern des Intervalls kann die Funktion größere oder kleinere Werte annehmen, ohne eine waagerechte Tangente zu haben, deswegen mußt du die Lage dort explizit prüfen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Mi 05.04.2006 | | Autor: | cat112 |
hi,
danke.
soweit hab ich das jetzt verstanden.
nur was ist der globale extremwert? wie kann ich den berechnen?
cu any
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Mi 05.04.2006 | | Autor: | statler |
Ach ja, Andrea, hatte ich vergessen
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Wenn du in einem abgeschlossenen Intervall z. B. ein globales Maximum suchst, dann suchst du erst alle lokalen Maxima (mit Hilfe der Ableitung) und berechnest dann noch die beiden Werte an den Rändern. Der größte dieser Werte ist das globale Maximum. Das kann wie in deiner Aufgabe an mehreren Stellen angenommen werden.
Noch ein Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Mi 05.04.2006 | | Autor: | cat112 |
danke. das hilft mir schon weiter.
cu andy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:03 Mi 05.04.2006 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
zum Thema globale Extrema:
Neben den lokalen Extremwerten einer Funktion (also HP u. TP), die sich auf die unmittelbare Umgebung einer bestimmten Stelle x0 beziehen,
gibt es noch sogenannte globale Extremwerte. Das sind die Stellen, an denen die Funktion ihren absolut höchsten bzw. ihren absolut kleinsten Wert hat.
Man kann diese Betrachtung auch, wie in Deiner Aufgabe, auf ein bestimmtes Intervall beschränken.
1. Zeichnerische Lösung
Zeichne einfach die Funktion im Intervall [-4;4], dann kannst Du den absolut kleinsten (globales Minimum) und den absolut höchsten Wert (globales Maximum) sofort ablesen.
2. Hinweise zur rechnerischen Lösung
Dazu ist eine Monotonie-Betrachtung notwendig.
Für Deine Funktion f(x) = [mm] x^3 [/mm] - [mm] 6x^2 [/mm] + 9x -5 gilt:
[Im Zweifel mal ein paar Werte ausrechnen; z.B. für x=-10; x=-100; x=-1000]
Je kleiner Dein x wird, desto kleiner wird der dazugehörige Funktionswert
[in Deinem Intervall ist x=-4 der kleinstmögliche x-Wert].
D.h. Deine Funktion kommt von - [mm] \infty [/mm] und steigt bis zum lokalen Maximum
bei x= +1 => HP (1/-1).
Dann fällt Deine Funktion, d.h. die y-Werte werden wieder kleiner und zwar bis zum lokalen Minimum bei x=+3 => TP(3/-5).
Dann steigt Deine Funktion wieder an, und zwar je größer Dein x (mit x>3 wird), desto größer werden die Funktionswerte.
Das globale Maximum in Deinem Intervall ist leider nicht eindeutig, da es zwei Stellen gibt, an denen Dein Funktionswert genau -1 wird. Daher gibt es hier zwei globale Maxima, wovon eines gleichzeitig ein lokales Maximum ist, also: (1/-1); (4/-1).
Wenn ich die Funktion für alle x [mm] \in \IR [/mm] betrachte, müßte ich allgemein eine Grenzwertbetrachtung machen, d.h. gegen welchen Wert strebt meine Funktion für x-> - [mm] \infty [/mm] und gegen welchen Wert strebt mein Funktionswert für x-> [mm] \infty... [/mm] soweit [wie gesagt, zeichnerisch sieht man es ja, sobald man die lokalen Extremwerte berechnet hat und die Wendepunkte, die Nullstellen und dazu eine kleine Wertetabelle gemacht
hat].
gruss
wolfgang
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:13 Mi 05.04.2006 | | Autor: | cat112 |
hi,
wie mache ich bei f(x) = [mm] x^3 [/mm] - [mm] 6x^2 [/mm] +9x-5 eine Grenzwertbetrachtung?
cu andy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Mi 05.04.2006 | | Autor: | Disap |
> hi,
Hallo cat112.
> wie mache ich bei f(x) = [mm]x^3[/mm] - [mm]6x^2[/mm] +9x-5 eine
> Grenzwertbetrachtung?
Das machst du mit dem limes, sprich du lässt x gegen unendlich und gegen minus unendlich laufen.
Bei ganzrationalen Funktionen betrachtest du hierbei den größten Exponenten (das [mm] x^3, [/mm] das dominiert dann den Grenzwert)
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}x^3 [/mm] - [mm] 6x^2 [/mm] +9x-5 = [mm] \infty [/mm] $
[mm] $\limes_{n\rightarrow - \infty}x^3 [/mm] - [mm] 6x^2 [/mm] +9x-5 = [mm] -\infty$
[/mm]
Alles klar?
mfG!
Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Mi 05.04.2006 | | Autor: | cat112 |
heißt dass ich muß die funktion durch [mm] x^3 [/mm] teilen?
dann würde ich lim -> 1 erhalten. aber was ist dann [mm] \infty [/mm] und [mm] -\infty [/mm] ?
cu andy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:43 Mi 05.04.2006 | | Autor: | Disap |
Ich habe nicht den ganzen Fragestrang gelesen, aber solltest du nun den Grenzwert in dem Intverall [-4;4] berechnen?
Dann musst du es auch mit dem limes machen... Es reicht aber in diesem Fall, x=4 und x=-4 einzusetzen
$ [mm] \limes_{n\rightarrow4}x^3 [/mm] - [mm] 6x^2 [/mm] +9x-5 = [mm] 4^3-6*4^2+9*4-5= [/mm] -1 $
$ [mm] \limes_{n\rightarrow -4}(-4)^3 [/mm] - [mm] 6*(-4)^2 [/mm] +9(-4)-5 = -201 $
> heißt dass ich muß die funktion durch [mm]x^3[/mm] teilen?
Nein...
> dann würde ich lim -> 1 erhalten. aber was ist dann [mm]\infty[/mm]
> und [mm]-\infty[/mm] ?
Meine Antwort bezog sich auf das Unendlichkeitsverhalten, nicht aber auf das in einem Intervall. Von daher kannst du es wohl vergessen...
> cu andy
LG
Disap
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 14:54 Mi 05.04.2006 | | Autor: | cat112 |
nehmen wir doch mal an es gäbe kein intervall. wie müßte ich dann vorgehen?
cu andy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Mi 05.04.2006 | | Autor: | Disap |
> nehmen wir doch mal an es gäbe kein intervall. wie müßte
> ich dann vorgehen?
Der Grenzwert ist gleichbedeutend mit dem limes; und wenn du den Grenzwert einer Funktion betrachten sollst, sollst du das Unendlichkeitsverhalten "ermitteln". Das gilt aber m. E. nur, wenn du die Funktion in keinem bestimmten Intervall betrachtest, sondern ganz allgemein.
Es ging um die Funktion f(x) = $ [mm] x^3 [/mm] - [mm] 6x^2 [/mm] +9x-5 $
Nun sollst du quasi die Frage beantworten: wie verhält sich die Funktion für sehr große positive x (plus Unendlich (Unendlich wird dargestellt als [mm] \infty) [/mm] und für sehr große negative x (minus Unendlich = [mm] -\infty)
[/mm]
Das ganze zeigst du üben den limes.
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x^3 [/mm] - [mm] 6x^2 [/mm] +9x-5 = [mm] \infty [/mm] $
$ [mm] \limes_{n\rightarrow - \infty}x^3 [/mm] - [mm] 6x^2 [/mm] +9x-5 = [mm] -\infty [/mm] $
Die Frage die dir hier jetzt vermutlich noch herumschwirrt ist, wie man darauf kommt, dass die Funktion f(x) für plus unendlich auch ins plus unendliche geht.
Laienhaft macht man das, indem man für unendlich einfach eine große Zahl einsetzt. Z. B. x=1000
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}1000^3 [/mm] - [mm] 6*1000^2 [/mm] +9*1000-5 =$ na da kommt schon eine große Zahl heraus.
Aber dabei muss man sich natürlich fragen, welche Zahl ist groß genug? Denn wenn man beispielsweise 1 einsetzen würde und du ein negatives Ergebnis erhälst, geht man dann davon aus, dass sie auch wirklich noch ins plus unendliche läuft?
Daher stellst du für den Grenzwert für [mm] x=\infty, [/mm] sprich:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x^3 [/mm] - [mm] 6x^2 [/mm] +9x-5 = [mm] \infty [/mm] $
folgende Überlegungen für die Funktion h(x) = [mm] x^3-6x^2 [/mm] an:
bei [mm] x^3 [/mm] werden die Zahlen relativ schnell "groß", im Gegensatz zu [mm] -6x^2. [/mm] Setzen wir für x mal 2 ein.
[mm] 2^3=8
[/mm]
[mm] -6*2^2 [/mm] = -24
setzen wir allerdings für x sieben ein, erhalten wir
[mm] 7^3 [/mm] = 343
[mm] -6*7^2 [/mm] = -294
Das [mm] x^3, [/mm] weil es in unserer Funktion f(x) sowie h(x) der größte Exponent ist, übersteigt den Term [mm] -6x^2, [/mm] den wir von [mm] x^3 [/mm] abziehen. Daher dominiert bei ganzrationalen Funktionen der höchste Exponent, das reicht, wenn wir den für unseren limes betrachten.
Bei
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\green{x^3}\red{- 6x^2 +9x-5}
[/mm]
interessiert uns nur das grüne, das rote ist beim Unendlichkeitsverhalten dazu da, um einen zu verwirren.
und in das [mm] x^3 [/mm] setzen wir nun plus Unendlich ein. da eine positive Zahl hoch 3 immernoch positiv ist, bekommen wir als Eregbnis eben plus Unendlich.
Eine negative Zahl mit einem ungeraden Exponenten (hoch 3) bleibt negativ! So ist beispielsweise [mm] (-2)^3 [/mm] = -8.
Das heißt für unseren zweiten Fall
$ [mm] \limes_{n\rightarrow-\infty}x^3 [/mm] - [mm] 6x^2 [/mm] +9x-5 = [mm] -\infty [/mm] $
Daraus kannst du dir auch merken, dass jede weitere Funktion mit der allgemeinen Funktionsgleichung
s(x) = [mm] x^3+bx^2+dx+e
[/mm]
für plus Unendlich ins plus Unendliche geht,
für minus Unendlich ins minus Unendliche geht.
Wobei du hier vorsichtig sein musst, wenn ein negatives Vorzeichen vor dem [mm] x^3 [/mm] steht, dann ändert sich das Unendlichkeitsverhalten natürlich!
War das verständlich? Ansonsten darfst du dir auch gerne den Artikel bei Wikipedia zum Thema ![[]](/images/popup.gif) limes angucken. Womit ich nicht sagen möchte, dass ich den empfehlen kann (ich wills aber auch nicht kritisieren)
mfG!
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:09 Do 06.04.2006 | | Autor: | cat112 |
hi,
danke euch beiden.
jetzt hab ichs verstanden. in unserem buch steht das nur viel zu kompliziert drin.
cu andy
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Mi 05.04.2006 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
nein du mußt die Funktion nicht durch [mm] x^3 [/mm] teilen.
Es reicht, wie bereits gesagt wurde, den Summanden mit der höchsten x-Potenz zu betrachten:
[mm] \limes_{n\rightarrow - \infty} [/mm] = (- [mm] \infty)^3 [/mm] = - [mm] \infty
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow \infty} [/mm] = [mm] (\infty)^3 [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
im übrigen: siehe beiträge meiner mitstreiter!
gruss
wolfgang
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