Extremwerte < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Man bestimme die lokalen Extremwerte der Funktion R² -> R
f(x,y) := (4x²+y²) [mm] e^{-x²-4y²} [/mm] |
Hallo und Guten Abend!
Ich sitze grad mal wieder über so einer Extremwertaufgabe, wär echt toll wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
hab als erstes versucht die partiellen ableitungen zu bilden und dann null zu setzen:
[mm] \bruch{df}{dx}=(4x²+y)e^{-x²-4y}(-2x) [/mm] + 8 x [mm] e^{-x²-4y} [/mm] = (-8x³ - 2xy + (x) [mm] e^{-x²-4y}
[/mm]
und [mm] \bruch{df}{dy} [/mm] = (4x²+y²) [mm] e^{-x²-4y} [/mm] (-4) + 2y [mm] e^{-x²-4y} [/mm] = (-16x² - 4y² + [mm] 2y)e^{-x²-4y}
[/mm]
stimmt das so weit?
und wenn ich das jetzt null setze, bekomm ihc ja eigentlich ein LGS mit 2 Glg und zwei Unbekannten:
x(-8x² - 2y + 8) = 0
-16x²-4y²+2y = 0 (da "e hoch irgendwas" ja nie null werden kann).
d.h. x = 0 oder ... haber versucht das LGS zu lösen und komm dann aber auf folgende Gleichung:
[mm] 64x^4 [/mm] - 120x² + 16x + 56 = 0. dazu hab ich leider keine lösung gefunden;(
im zweiten schritt müsste ich ja diese funktionalmatrix aufstellen um die funktion auf definitheit zu untersuchen. mach ich irgendwas falsch oder ist das wirklich so complicated?
weil dann hätte ich ja voll die ewig langen terme in der matrix stehen und müsste davon die det bilden??
*help*
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 Sa 10.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Riley
> Man bestimme die lokalen Extremwerte der Funktion R² -> R
> f(x,y) := (4x²+y²) [mm]e^{-x²-4y²}[/mm]
> Hallo und Guten Abend!
> Ich sitze grad mal wieder über so einer Extremwertaufgabe,
> wär echt toll wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
> hab als erstes versucht die partiellen ableitungen zu
> bilden und dann null zu setzen:
> [mm]\bruch{df}{dx}=(4x²+y)e^{-x²-4y}(-2x)[/mm] + 8 x [mm]e^{-x²-4y}[/mm] =
> (-8x³ - 2xy + (x) [mm]e^{-x²-4y}[/mm]
Fehler statt 2xy muss [mm] 2xy^{2}
[/mm]
> und [mm]\bruch{df}{dy}[/mm] = (4x²+y²) [mm]e^{-x²-4y}[/mm] (-4) + 2y
> [mm]e^{-x²-4y}[/mm] = (-16x² - 4y² + [mm]2y)e^{-x²-4y}[/mm]
> stimmt das so weit?
> und wenn ich das jetzt null setze, bekomm ihc ja
> eigentlich ein LGS mit 2 Glg und zwei Unbekannten:
> x(-8x² - 2y + 8) = 0
> -16x²-4y²+2y = 0 (da "e hoch irgendwas" ja nie null werden
> kann).
1. Lösung x=0,y=0 ist sicher Minimum! (warum)
2. Lösung Doppelte der einen Gleichung von der anderen abziehen.
Wenn du andere Argumente als die Funktionalmatrix hast gehts auch anders.
Weiss nicht ob das hier zutrifft.
> d.h. x = 0 oder ... haber versucht das LGS zu lösen und
> komm dann aber auf folgende Gleichung:
> [mm]64x^4[/mm] - 120x² + 16x + 56 = 0. dazu hab ich leider keine
> lösung gefunden;(
>
> im zweiten schritt müsste ich ja diese funktionalmatrix
> aufstellen um die funktion auf definitheit zu untersuchen.
> mach ich irgendwas falsch oder ist das wirklich so
> complicated?
> weil dann hätte ich ja voll die ewig langen terme in der
> matrix stehen und müsste davon die det bilden??
Wenn du andere Argumente als die Funktionalmatrix hast gehts auch anders.
Weiss nicht ob das hier zutrifft. (aber siehe bei 0,0)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:47 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Leduart!
Danke für deine Antwort. ohja, das quadrat hab ich vergessen.
mhm (x,y)=(0,0) Minimum, da ja e hoch irgendetwas > 0 und4x²+y² auch immer >0.
hab mal versucht das doppelte abzuziehen:
16(-x²-x+x²)+2y (1-2xy) = 0
-2xy²+2y+16x=0 aber jetzt hab ich ja 2 unbekannte und nur eine gleichung?
an was für andere argumente denkst du denn?
in der VL haben wir das nur mit der Matrix und den unterdeterminanten durchgenommen...
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Sa 10.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die 2 Gleichungen waren doch
[mm] $-8x^2-4y^2+8=0$
[/mm]
[mm] $16x^2-2y^2+2y=0$
[/mm]
2 mal die erste von der 2. abgezogen gibt?
Andere Argumente sind: man sieht aus der Gleichung wie hier bei 0,0 dass alle benachbarten Funktionswerte kleiner bzw, größer sind. dann kann man auch auf Minima schließen. Das ist auch bei komplizierteren eindim. Fkt. schon oft so!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Leduart!
danke, jetzt seh ich wie du das meinst. aber bist du dir sicher, dass die Gleichungen stimmen? hab das ganze nochmal durchgerechnet, und ich glaub ich hab bei der anderen Ableitung auch das eine Quadrat vergessen... muss es nicht so sein:
f(x,y) = (4x²+y²) [mm] e^{-x²-4y²} \Righhtarrow [/mm]
[mm] \bruch{df}{dx}= [/mm] (4x²+y²) [mm] e^{-x²-4y²} [/mm] (-2x) + 8x [mm] e^{-x²-4y²}
[/mm]
= x (-8x²-2y²+8) [mm] e^{-x²-4y²}
[/mm]
[mm] \bruch{df}{dy} [/mm] = (4x²+y²) [mm] e^{-x²-4y²} [/mm] (-8y) + 2y [mm] e^{-x²-4y²}
[/mm]
= y (-32x² - 8y² + 2) [mm] e^{-x²-4y²}
[/mm]
und dann:
16x² - 4y² +1 = 0
-8x² - 2y² + 8 = 0
-16x²-4y²+1=0
-16x²-4y²+16=0
und wenn ich die beiden jetzt voneinander abziehe bekomm ich -15=0 *verzweifel* hab ich mich schon wieder verrechnet'???
wie ist das eigentlich bei der hessematrix mit den zweiten ableitungen, bekomm ich da als einträge immer konstanten'??
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:02 So 11.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Riley
Dass deine 2. Gl auch falsch war hatte ich übersehen. das Gleichungssystem hat also nur die Lösung x=y=0 und da brauchst du wie schon gesagt keine hesse matrix.
Wenn man einen Punkt einsetzt besteht die HM natürlich aus Zahlen, genauo wie im eindimensionalen, f''(x) ist ne Funktion, f''(x1) ist ne Zahl.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 So 11.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Leduart!
ganz vielen dank nochmal für deine erklärungen. ich habs jetzt doch nochmal über die hessematrix ausgerechnet und sie ist pos. definit, wie du schon gesagt hast ein minimum *juhu* 
viele grüße
riley
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