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Hi,
ich hab hier diese Aufgabe z.T. bearbeitet. Würde mich freuen, wenn ihr mir meine Fragen beantwortet bzw. mir ein paar Verbesserungsvorschläge gibt, falls nötig.
Aufgabe 6: (Extremwerte und Ableitungsfunkionen)
a) Erläutern Sie anhand einer Skizze die Begriffe absolute und relative Extrema.
b) Wie können Extremwerte ermittelt werden?
c) Ermitteln Sie die Hoch- bzw. Tiefpunkte im Schaubild der Funktion f mit f(x)= [mm] \bruch{8x+4}{x^2}
[/mm]
d) Gegeben ist das folgende Schaubild einer Funktion g . [Dateianhang nicht öffentlich]
Skizzieren Sie das Schaubild der Ableitungsfunktion.
Antworten:
Zu 6a) Relativer Extremwert bezieht sich immer nur auf eine kleine Umgebung und nicht auf den gesamten Definitionsbereich. Absolute Extrema gelten für den gesamten Definitionsbereich.
Zu 6b) Extremwerte werden ermittelt, unter der Vorraussetzung, dass eine Funktion 2xmal differenzierbar ist, indem man vorerst die erste ABleitung =0 setzt. Anschließend setzt man den erhaltenden Wert in die Ausgangsfunktion ein, um die y-Koordinate zu erhlaten. Um zu prüfen, ob es ein Tief- oder Hochpunkt ist, setzt man die x-Koordinates des Extremwerts in die zweite Ableitung ein. Wenn man einen Wert>0 erhält handelt es sich um einen Tiefpunkt, wenn man einen Wert <0 erhält, ist es ein Hochpunkt.
Zu 6c) x1=1, x2=0 ---> da O nicht im Df definiert ist, gebt es nur an der Stelle x=1 eine Extremstelle, dabei handelt es sich um einen TP=(1/12)
Zu 6d) Kenn kein Programm, um dass zu zeichnen...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Hi,
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> ich hab hier diese Aufgabe z.T. bearbeitet. Würde mich
> freuen, wenn ihr mir meine Fragen beantwortet bzw. mir ein
> paar Verbesserungsvorschläge gibt, falls nötig.
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> Aufgabe 6: (Extremwerte und Ableitungsfunkionen)
>
> a) Erläutern Sie anhand einer Skizze die Begriffe absolute
> und relative Extrema.
> b) Wie können Extremwerte ermittelt werden?
> c) Ermitteln Sie die Hoch- bzw. Tiefpunkte im Schaubild
> der Funktion f mit f(x)= [mm]\bruch{8x+4}{x^2}[/mm]
> d) Gegeben ist das folgende Schaubild einer Funktion g .
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Skizzieren Sie das Schaubild der Ableitungsfunktion.
>
> Antworten:
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> Zu 6a) Relativer Extremwert bezieht sich immer nur auf eine
> kleine Umgebung und nicht auf den gesamten
> Definitionsbereich. Absolute Extrema gelten für den
> gesamten Definitionsbereich.
Das ist ausreichend definiert, denke ich :)
> Zu 6b) Extremwerte werden ermittelt, unter der
> Vorraussetzung, dass eine Funktion 2xmal differenzierbar
> ist, indem man vorerst die erste ABleitung =0 setzt.
> Anschließend setzt man den erhaltenden Wert in die
> Ausgangsfunktion ein, um die y-Koordinate zu erhlaten. Um
> zu prüfen, ob es ein Tief- oder Hochpunkt ist, setzt man
> die x-Koordinates des Extremwerts in die zweite Ableitung
> ein. Wenn man einen Wert>0 erhält handelt es sich um einen
> Tiefpunkt, wenn man einen Wert <0 erhält, ist es ein
> Hochpunkt.
Jop, die notwenidge Bedingung ist erste Ableitung = 0, hinreichende Bedingung ist die notwenidge + zweite Ableitung [mm] \not= [/mm] 0
> Zu 6c) x1=1, x2=0 ---> da O nicht im Df definiert ist,
> gebt es nur an der Stelle x=1 eine Extremstelle, dabei
> handelt es sich um einen TP=(1/12)
Leider stimmt das nicht ganz, du kannst eigentlich nie Extrema raushaben, wo die Funktion nicht definiert ist, denn dort verläuft auch keine Ableitung.
Ich rechne es mal kurz vor:
f(x)= [mm][mm] \bruch{8x+4}{x^2}
[/mm]
f'(x)=[mm][mm] \bruch{(8*x^2)-(8x+4)*2x}{x^4} [/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm][mm] \bruch{8*x-(8x+4)*2}{x^3} [/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm][mm] \bruch{8*x-16x-8}{x^3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm][mm] \bruch{-8x-8}{x^3} [/mm]
Für Extrema ergibt sich daraus die x-Stelle [mm] x_1=-1, [/mm] was auch die einzige Stelle ist. Damit hast du einen TP bei (-1/-4). In die zweite Ableitung kannst du es ja selber einsetzen, sowie den y-Wert ausrechnen.
> Zu 6d) Kenn kein Programm, um dass zu zeichnen...
Es geht auch eher um einen ungefähren Verlauf, denn du dir überlegen sollst, wirst du ja wahrscheinlich auch getan haben. Da die Funktion sehr stark am Anfang fällt, ist die Steigung sehr negativ. Bei Null haben wir eine Nullstelle, danach wird die Steigung wieder negativ, also wird die Ableitungsfunktion bei x=0 eine Doppelnullstelle wie eine Parabel haben, und zwar einen Tiefpunkt.
Bei x=1 hat die Funktion ihren Tiefpunkt erreicht, was in der Ableitungsfunktion wieder als Nullstelle auftaucht. Danach ist die Steigung monoton steigend. Also hast du ungefähr eine [mm] x^3-Funktion, [/mm] die zwei Nullstellen besitzt. Da die Ausgangsfunktion sehr wahrscheinlich eine Funktion 4. Grades wahr, ist das nochmal abgesichert. Natürlich kommt zu dem [mm] x^3 [/mm] noch ein [mm] x^2 [/mm] oder x Term, aber so ungefähr.
Geht doch ^^ Ich habs dir unter meinen Post als Anhang mit drangehängt, falls meine Erklärungen zu komisch und undeutlich sein sollten
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 03.06.2008 | | Autor: | friendy88 |
Vielen Dank für deine Mühe. Konnte alles gut nachvollziehen ;)....
Jedoch denke ich, dass es sich bei dem P(-1/-4) nicht um einen Tiefpunkt sondern, um einen Hochpunkt handelt.
Die 2. Ableitung lautet: f''(x)= [mm] \bruch{16x+24}{x} [/mm] , also ist f''(-1)=-8 und somit ein Hochpunkt. Oder hab ich mich ihrgendwo vertan?
Gruß und danke nochmal...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 Di 03.06.2008 | | Autor: | Adamantin |
> Vielen Dank für deine Mühe. Konnte alles gut nachvollziehen
> ;)....
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> Jedoch denke ich, dass es sich bei dem P(-1/-4) nicht um
> einen Tiefpunkt sondern, um einen Hochpunkt handelt.
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> Die 2. Ableitung lautet: f''(x)= [mm]\bruch{16x+24}{x}[/mm] , also
> ist f''(-1)=-8 und somit ein Hochpunkt. Oder hab ich mich
> ihrgendwo vertan?
>
>
> Gruß und danke nochmal...
Du hast dich vertan ^^
Deine Ableitung stimmt, bis auf das x unten, das muss [mm] x^4 [/mm] sein, ansonsten ist es oben korrekt.
Da wir aber -(!)1 einsetzen müssen, kommt 8 raus
Und da 8>0 gilt die Stelle x=-1 als Hochpunkt(stelle XD)
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