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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:20 Di 28.06.2005 | | Autor: | arzoo |
Wir müssen diese Übungsaufgabe lösen :
Zwei Autos A1 und A2 fahren auf zwei Straßen, die sich sich im Winkel von pi/6 (also 30°) kreuzen. Zum Zeitpunkt t = 0 passiert das Auto A1 gerade die Kreuzung, das Auto A2 hat die Kreuzung bereits passiert und befindet sich 600 m weiter.
Auto A2 fährt mit konstanter Geschwindigkeit von [mm] v_2 [/mm] = 20 m/s, während sich A1 fast doppelt so schnell, nämlich mit [mm] v_1 [/mm] = 20sqr(3) m/s, auf der anderen Straße bewegt.
Zu welchem Zeitpunkt ist die Entfernung zwischen beiden Fahrzeugen minimal?
Hinweis: Betrachten Sie die Kreuzung als Ursprung des Koordinatensystems, die Straße von [mm] A_2 [/mm] als x-Achse und beschreiben Sie dann die Positionen [mm] P_1(t) [/mm] bzw. [mm] P_2(t) [/mm] von [mm] A_1 [/mm] bzw. [mm] A_2 [/mm] zu einer Zeit t durch die Koordinaten.
Die Entfernung zwischen zwei Punkten (a, b) und (c, d) ist
sqr [ (a − [mm] c)^2 [/mm] + (b − [mm] d)^2 [/mm] ]
Die sqr 3 in [mm] v_2 [/mm] sollte nicht stören, sondern das Rechnen eher vereinfachen!
Nun mein Ansatz :
v1(A1) = 20√3 m/s ___
v2(A2) = 20 m/s AB (a,b)(c,d) = [mm] √(a-c)^2 [/mm] + [mm] (b-d)^2 [/mm]
___
* t0 = A1(0,0) A2(600,0) AB = [mm] √(-600)^2 [/mm] = 600 ç das ist die entfernung fur zeitpunkt
t0
*t1 = A1(30,10√3) A2(620,0) AB [mm] =√(30-620)^2 [/mm] + [mm] (10√3)^2 [/mm] = 590,25
die koordinaten von A1 : y => sin 30 = y/(20√3) => 1/2 = y/(20√3) è y = 10√3
x=> cos 30 = x/20√3 => √3/2 = x/20√3 è x = 30
* t2 = A1(60, 20√3) A2(640,0) AB = [mm] √(60-640)^2 [/mm] + [mm] (20√3)^2 [/mm] = 581,03
x = cos 30 => x/ 40√3 = √3/2 è 60
y => ˝ = y/ 40√3 è y = 20√3
jetzt sieth man dass die entfernung zwischen A1 und A2 verkleinert sich wieder grosser )
man kann das einfacher rechnen :
wenn wir nehmen t0 als start punkt, t1=>nach eine sek, t2=>nach 2 sek uzw...
so nach 1 sek A1 ist 20√3 , nach 2 sek schon 40√3 (ab t0)
es ist genauso bei A2, nach 1 sek ist schon 20 m weiter, nach 2 sek => 40 ( aber hier bis zeitpunk +600)
man kann die koordinaten so schreiben : A1 ( x*30 , x* 10√3 ) A2 ( x*20 + 600 ,0 )
___
dann sieth so aus AB = √ ( 30x (20x + [mm] 600))^2 [/mm] + (10√3 [mm] x)^2
[/mm]
t60 = AB = √((30*60) [mm] (20*60+600))^2 [/mm] + (10√3 [mm] *60)^2 [/mm] = 103,92
im t60 die koordinaten x von A1 und A2 sind gleiche = 1800 ,
die x- achse und die strecke von A1 bis A2 machen rechtwinkel so dass die kurzeste sein sollte
ich bin ncht sicher ob ich alles gut berechnet habe...
ich habe gefunden das fur t_30 die ergebnis ist 600, fur t_15 = 519,62, fur t_14 = 520 , fur t_16 = 520....... am anfang dachte ich das t_15 ist die losung, aber ich bin mir nicht sicher .
die grenzen habe ich nicht
Könnt ihr mir bitte weiter helfen ob das so richtig oder falsch ist oder wie ich das besser machen kann .Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Di 28.06.2005 | | Autor: | kuroiya |
Hallo arzoo
Dein Verfahren wirkt ziemlich arbeitsintensiv. Jetzt weiss ich nicht, ob ihr das numerisch so ausrechnen solltet, aber es gibt einen schöneren und arbeitsaufwandsparenderen Weg:
Zuallererst stellen wir die Abstandsfunktion auf: [mm] \delta(t) [/mm] = [mm] \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}
[/mm]
(ich habe hier [mm] A_1 [/mm] = [mm] (x_1, y_1), A_2 [/mm] = [mm] (x_2, y_2) [/mm] )
Jetzt schauen wir: was genau ist [mm] x_1, y_1, x_2, y_2 [/mm] ?
Auf einer Skizze finden wir mit Hilfe der Trigonometrie:
[mm] x_1 [/mm] = [mm] s_1\cos{\alpha}
[/mm]
[mm] y_1 [/mm] = [mm] s_1\sin{\alpha}
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] s_2
[/mm]
[mm] y_2 [/mm] = 0
wobei [mm] s_i [/mm] der Abstand zum Ursprung bezeichnet, folglich ist [mm] s_1 [/mm] = v_1t, [mm] s_2 [/mm] = v_2t + 600, alpha ist hier natürlich [mm] \pi/6.
[/mm]
Dadurch wird [mm] \delta(t) [/mm] = [mm] \sqrt{t^2(v_1^2 + v_2^2 - 2v_1v_2\cos{\alpha})+ t*1200(v_2 - v_1\cos{\alpha}}.
[/mm]
Für die Koeffizienten von [mm] t^2 [/mm] und t erhalten wir 1480 und -12000. Wir wollen sie der Einfachheit halber nun mit A und B notieren.
Die Gleichung wird dadurch zu [mm] \delta(t) [/mm] = [mm] \sqrt{At^2 + Bt}
[/mm]
Nun suchen wir das Minimum der Funktion, wir verlangen also, dass [mm] \frac{d}{dt}\delta(t) [/mm] = 0.
Nun ist [mm] \frac{d}{dt}\delta(t) [/mm] = [mm] \frac{2At + B}{2\sqrt{At^2 + Bt}}
[/mm]
Dies ist Null, g.d.w. 2At + B = 0, [mm] \Rightarrow [/mm] t = - [mm] \frac{B}{2A}.
[/mm]
Durch Einsetzen erhält man t = 8,108s.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Di 28.06.2005 | | Autor: | arzoo |
Danke für die schnelle Hilfe .
Ich muss mich aber noch mal ransetzen um genau zu verstehen wie du das gerechnet hast , wenn ich dan Fragen habe melde ich mich noch mal .
Aber erst mal vielen Dank :)
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