Extremwerte < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich möchte die möglichen Extrempunkte einer Funktion zweier Veränderlicher ermitteln
[mm] f(x,y)=yx^{2}(4-x-y)
[/mm]
Dazu habe ich ausmultipliziert, um leichter den Gradienten [mm] f_{x}, f_{y} [/mm] bestimmen zu können
grad f=0
Dies ergibt folgende zwei Gleichungen:
I) [mm] 8yx-3yx^{2}-2y^{2}x=0
[/mm]
II) [mm] 4x^{2}-x^{3}-2x^{2}y
[/mm]
Nun möchte ich nach y auflösen, um den y-Wert des möglichen Punktes zu berechnen. Diesen setze ich dann in Gleichung II) ein und erhalte meinen dazu passenden x-Wert des möglichen Extrempunktes.
Nun stoße ich aber beim Auflösen auf folgendes:
[mm] 8yx-3yx^{2}-2y^{2}x=0
[/mm]
[mm] y(8x-3x^{2}-2yx)=0
[/mm]
[mm] y_{1}=0
[/mm]
[mm] -3x^{2}+8x-2yx=0
[/mm]
x(-3x+8-2y)=0
x=0 .... was fange ich damit an? Lasse ich das einfach wegfallen, oder muss ich dieses x=0 irgendwo einsetzen? Eigentlich möchte ich ja nur die möglichen Extremstellen für y, um sie in Gleichung II) einsetzen zu können.
Rechne ich weiter erhalte ich:
-2y=3x-8
[mm] y_{2}=-\bruch{3}{2}x+4
[/mm]
Wenn ich jetzt sagen wir mal [mm] y_{1} [/mm] in die Gleichung II) einsetzen möchte, muss ich auch dort ausklammern und erhalte:
[mm] 4x^{2}-x^{3}-2x^{2}y=0
[/mm]
[mm] x^{2}(4-x-2y)=0
[/mm]
was fange ich an dieser Stelle mit der doppelte Nullstelle x=0 an? Ich erhalte dies ja, ohne das ich einen Punkt eingesetzt habe.
Oder ist das ganz normale Termumformung. Ich teile durch x oder [mm] x^{2} [/mm] um es wegfallen zu lassen?
Ich hoffe mein Problem ist erkennbar.
Durch das Einsetzen von [mm] y_{1} [/mm] und [mm] y_{2} [/mm] in Gleichung II) erhalte ich die passenden x-Werte und kann die Punkte angeben:
[mm] P_{1}(4,0)
[/mm]
[mm] P_{2}(-1, \bruch{11}{2})
[/mm]
Oder gibt es noch mehr Punkte?
Gruß, Andreas
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Hallo Mathe-Andi,
> Hallo,
>
> ich möchte die möglichen Extrempunkte einer Funktion
> zweier Veränderlicher ermitteln
>
> [mm]f(x,y)=yx^{2}(4-x-y)[/mm]
>
> Dazu habe ich ausmultipliziert, um leichter den Gradienten
> [mm]f_{x}, f_{y}[/mm] bestimmen zu können
>
> grad f=0
>
> Dies ergibt folgende zwei Gleichungen:
>
> I) [mm]8yx-3yx^{2}-2y^{2}x=0[/mm]
>
> II) [mm]4x^{2}-x^{3}-2x^{2}y[/mm]
Stimmt.
=>
zu lösen ist also das Gleichungssystem:
[mm] 8yx-3yx^{2}-2y^{2}x=0
[/mm]
[mm] 4x^{2}-x^{3}-2x^{2}y=0
[/mm]
Es gibt hier tatsächlich gewisse pathologische Fälle. Hat man x=0, so kann y jeden beliebigen Wert annehmen.
Setze doch mal x=0 in f(x,y) ein. Was fällt dir auf? Können die Punkte (0,y) mit [mm] y\in\IR [/mm] überhaupt Extremwerte sein?
Betrachte nun [mm] x\not=0 [/mm] und löse das Gleichungsystem. (Damit ist überhaupt gewährleistet, dass du durch x, bzw. y teilen darfst.)
>
> Nun möchte ich nach y auflösen, um den y-Wert des
> möglichen Punktes zu berechnen. Diesen setze ich dann in
> Gleichung II) ein und erhalte meinen dazu passenden x-Wert
> des möglichen Extrempunktes.
>
> Nun stoße ich aber beim Auflösen auf folgendes:
>
> [mm]8yx-3yx^{2}-2y^{2}x=0[/mm]
> [mm]y(8x-3x^{2}-2yx)=0[/mm]
>
> [mm]y_{1}=0[/mm]
>
> [mm]-3x^{2}+8x-2yx=0[/mm]
> x(-3x+8-2y)=0
>
> x=0 .... was fange ich damit an? Lasse ich das einfach
> wegfallen, oder muss ich dieses x=0 irgendwo einsetzen?
> Eigentlich möchte ich ja nur die möglichen Extremstellen
> für y, um sie in Gleichung II) einsetzen zu können.
>
> Rechne ich weiter erhalte ich:
>
> -2y=3x-8
> [mm]y_{2}=-\bruch{3}{2}x+4[/mm]
>
>
> Wenn ich jetzt sagen wir mal [mm]y_{1}[/mm] in die Gleichung II)
> einsetzen möchte, muss ich auch dort ausklammern und
> erhalte:
>
> [mm]4x^{2}-x^{3}-2x^{2}y=0[/mm]
> [mm]x^{2}(4-x-2y)=0[/mm]
>
> was fange ich an dieser Stelle mit der doppelte Nullstelle
> x=0 an? Ich erhalte dies ja, ohne das ich einen Punkt
> eingesetzt habe.
>
> Oder ist das ganz normale Termumformung. Ich teile durch x
> oder [mm]x^{2}[/mm] um es wegfallen zu lassen?
>
> Ich hoffe mein Problem ist erkennbar.
>
> Durch das Einsetzen von [mm]y_{1}[/mm] und [mm]y_{2}[/mm] in Gleichung II)
> erhalte ich die passenden x-Werte und kann die Punkte
> angeben:
>
> [mm]P_{1}(4,0)[/mm]
>
> [mm]P_{2}(-1, \bruch{11}{2})[/mm]
Der erste Punkt also [mm] P_1 [/mm] sieht gut aus. Der zweite aber nicht so gut. Am besten du schaust noch einmal drüber. :)
>
> Oder gibt es noch mehr Punkte?
>
>
> Gruß, Andreas
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Hallo,
ich darf also diese Termumformung, teilen durch die Variable x, vornehmen, wenn ich gleichzeitig sage, dass [mm] x\not=0 [/mm] ist um die mathematische Korrektheit zu wahren. Die eigentliche Rechnung führe ich dann ganz normal mit dem Restterm weiter, ohne diese ausgeklammerten Variablen (in meinem Fall x), weiter zu beachten, im Hinblick auf das Ergebnis der Aufgabe. Richtig?
Das kommt mir sehr bekannt vor, aber in Verbindung mit dieser Aufgabe war ich mir nicht sicher, und gerade wenn ich bei Extremwertaufgabe Variablen wegfallen lasse, dachte ich mir, fragst du mal nach 
Zu deiner Frage: wenn x=0, kann der untersuchte Punkt P(0,y) kein Extrempunkt sein, denn es ist P(0,0).
Achso: die Punkte sind nun [mm] P_{1}(4,0) [/mm] und [mm] P_{2}(2,1).
[/mm]
Gruß, Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:46 Do 06.06.2013 | | Autor: | chrisno |
> Hallo,
>
> ich darf also diese Termumformung, teilen durch die
> Variable x, vornehmen, wenn ich gleichzeitig sage, dass
> [mm]x\not=0[/mm] ist um die mathematische Korrektheit zu wahren. Die
> eigentliche Rechnung führe ich dann ganz normal mit dem
> Restterm weiter, ohne diese ausgeklammerten Variablen (in
> meinem Fall x), weiter zu beachten, im Hinblick auf das
> Ergebnis der Aufgabe. Richtig?
Nein, so nicht.
Wenn Du bei der Umformung durch x teilen willst, dann beginnst Du eine Fallunterscheidung.
Deine komplette Untersuchung musst Du ab dem Moment aufteilen:
Wenn x = 0, dann ist folgendes ....
Wenn $x [mm] \ne [/mm] 0$ dann ist folgendes ....
>
> Das kommt mir sehr bekannt vor, aber in Verbindung mit
> dieser Aufgabe war ich mir nicht sicher, und gerade wenn
> ich bei Extremwertaufgabe Variablen wegfallen lasse, dachte
> ich mir, fragst du mal nach
Das ist ja auch besser zu Fragen. Das Prinzip gilt ganz allgemein.
>
> Zu deiner Frage: wenn x=0, kann der untersuchte Punkt
> P(0,y) kein Extrempunkt sein, denn es ist P(0,0).
Erstens müsste das "denn" erklärt werden, denn P(0,0) ist nur ein Spezialfall von P(0,y), isch verstehe also gar nicht, was Du damit sagen willst.
Schau Dir mal an, was mit den Vorzeichen in der Umgebung von x = 0 passiert.
>
> Achso: die Punkte sind nun [mm]P_{1}(4,0)[/mm] und [mm]P_{2}(2,1).[/mm]
Das sind nun die Kandidaten. Nun kannst Du untersuchen, ob es sich um Extremwerte handelt. Ist sicher ausgeschlossen, dass es keine weiteren Kandidaten gibt? Es waren ja keine linearen Gleichungen.
>
> Gruß, Andreas
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| Aufgabe | | Man bestimme die Extremwerte von [mm] f(x,y)=yx^{2}(4-x-y). [/mm] |
Hallo,
das mit der Fallunterscheidung leuchtet ein. Ich denke es ist das beste, ich schreibe mal meinen kompletten Ansatz bis zum Aufstellen der möglichen Extrempunkte, um letzte Ungereimtheiten aus dem Weg zu räumen.
Schritt 1) Gradienten von f bilden (grad f). Notwendige Bedingung für das Vorhandensein von Extrema: grad f=0.
grad [mm] f(x,y)=(\bruch{f_{x}}{f_{y}})=(\bruch{8yx-3yx^{2}-2y^{2}x}{4x^{2}-x^{3}-2x^{2}y})=0
[/mm]
Daraus ergeben sich die Gleichungen I) und II):
I) [mm] 8yx-3yx^{2}-2y^{2}x=0
[/mm]
II) [mm] 4x^{2}-x^{3}-2x^{2}y=0
[/mm]
Schritt 2) Gleichung I) nach y auflösen, um die y-Werte der möglichen Extrema zu erhalten.
[mm] 8yx-3yx^{2}-2y^{2}x=0
[/mm]
[mm] x(8y-3yx-2y^{2})=0
[/mm]
An dieser Stelle muss eine Fallunterscheidung getroffen werden.
wenn [mm] x\not=0:
[/mm]
[mm] 8y-3yx-2y^{2}=0
[/mm]
y(8-3x-2y)=0
[mm] y_{1}=0
[/mm]
8-3x-2y=0
-2y=3x-8
[mm] y_{2}=-\bruch{3}{2}x+4
[/mm]
wenn x=0:
[mm] 8y-3yx-2y^{2}=0
[/mm]
[mm] 8y-2y^{2}=0
[/mm]
y(8-2y)=0
[mm] y_{3}=0
[/mm]
8-2y=0
[mm] y_{4}=4
[/mm]
Damit wären die y-Werte der möglichen Extrema:
[mm] y_{1}=0
[/mm]
[mm] y_{2}=-\bruch{3}{2}x+4
[/mm]
[mm] y_{4}=4
[/mm]
Schritt 3) Berechnete y-Werte in Gleichung II) einsetzen, um die jeweiligen x-Werte der möglichen Extrema zu erhalten.
>> [mm] y_{1}=0 [/mm] in Gleichung II) [mm] 4x^{2}-x^{3}-2x^{2}y=0
[/mm]
[mm] 4x^{2}-x^{3}=0
[/mm]
[mm] x^{2}(4-x)=0
[/mm]
[mm] x_{1,2}=0
[/mm]
Ergibt Punkt [mm] P_{1}(0,0)
[/mm]
4-x=0
[mm] x_{3}=4
[/mm]
Ergibt Punkt [mm] P_{2}(4,0)
[/mm]
>> [mm] y_{2}=-\bruch{3}{2}x+4 [/mm] in Gleichung II) [mm] 4x^{2}-x^{3}-2x^{2}y=0
[/mm]
[mm] 4x^{2}-x^{3}-2x^{2}(-\bruch{3}{2}x+4)=0
[/mm]
[mm] -4x^{2}+2x^{3}=0
[/mm]
[mm] x^{2}(-4+2x)=0
[/mm]
[mm] x_{1,2}=0
[/mm]
Ergibt Punkt [mm] P_{3}(0,4)
[/mm]
-4+2x=0
[mm] x_{3}=2
[/mm]
Ergibt Punkt [mm] P_{4}(2,1)
[/mm]
>> [mm] y_{4}=4 [/mm] in Gleichung II) [mm] 4x^{2}-x^{3}-2x^{2}y=0
[/mm]
[mm] -4x^{2}-x^{3}=0
[/mm]
[mm] x^{2}(-4-x)=0
[/mm]
[mm] x_{1,2}=0
[/mm]
Ergibt Punkt [mm] P_{5}(0,4).
[/mm]
-4-x=0
[mm] x_{3}=-4
[/mm]
Ergibt Punkt [mm] P_{6}(-4,4)
[/mm]
Insgesamt haben wir so die Punkte der möglichen Extrema erhalten:
[mm] P_{1}(0,0)
[/mm]
[mm] P_{2}(4,0)
[/mm]
[mm] P_{3}(0,4)
[/mm]
[mm] P_{4}(2,1)
[/mm]
[mm] P_{6}(-4,4)
[/mm]
Die es nun durch einsetzen in die Hesse-Matrix auf Maximum, Minimum oder Sattelpunkt zu untersuchen gilt.
Ist das bis hier richtig?
Gruß, Andreas
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Hallo Andreas,
ich finde, das ist nicht sonderlich übersichtlich ...
> Man bestimme die Extremwerte von [mm]f(x,y)=yx^{2}(4-x-y).[/mm]
> Hallo,
>
> das mit der Fallunterscheidung leuchtet ein. Ich denke es
> ist das beste, ich schreibe mal meinen kompletten Ansatz
> bis zum Aufstellen der möglichen Extrempunkte, um letzte
> Ungereimtheiten aus dem Weg zu räumen.
>
>
>
> Schritt 1) Gradienten von f bilden (grad f). Notwendige
> Bedingung für das Vorhandensein von Extrema: grad f=0.
>
>
> grad
> [mm]f(x,y)=(\bruch{f_{x}}{f_{y}})=(\bruch{8yx-3yx^{2}-2y^{2}x}{4x^{2}-x^{3}-2x^{2}y})=0[/mm]
Naja, der Gradient ist kein Bruch, sondern ein Vektor: [mm]\nabla f(x,y)=\vektor{f_x(x,y)\\f_y(x,y)}[/mm] <--- klick drauf ...
Und der muss [mm]=\vektor{0\\0}[/mm] sein ...
>
> Daraus ergeben sich die Gleichungen I) und II):
>
> I) [mm]8yx-3yx^{2}-2y^{2}x=0[/mm]
>
> II) [mm]4x^{2}-x^{3}-2x^{2}y=0[/mm]
>
>
> Schritt 2) Gleichung I) nach y auflösen, um die y-Werte
> der möglichen Extrema zu erhalten.
>
> [mm]8yx-3yx^{2}-2y^{2}x=0[/mm]
>
> [mm]x(8y-3yx-2y^{2})=0[/mm]
>
> An dieser Stelle muss eine Fallunterscheidung getroffen
> werden.
>
> wenn [mm]x\not=0:[/mm]
>
> [mm]8y-3yx-2y^{2}=0[/mm]
>
> y(8-3x-2y)=0
>
> [mm]y_{1}=0[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
ODER
>
>
> 8-3x-2y=0
>
> -2y=3x-8
>
> [mm]y_{2}=-\bruch{3}{2}x+4[/mm]
>
>
> wenn x=0:
>
> [mm]8y-3yx-2y^{2}=0[/mm]
>
> [mm]8y-2y^{2}=0[/mm]
>
> y(8-2y)=0
>
> [mm]y_{3}=0[/mm]
??
Wenn [mm]x=0[/mm] ist, ist y egal, beide Gleichungen sind für jedes y Null ...
>
>
> 8-2y=0
>
> [mm]y_{4}=4[/mm]
>
>
> Damit wären die y-Werte der möglichen Extrema:
>
> [mm]y_{1}=0[/mm]
>
> [mm]y_{2}=-\bruch{3}{2}x+4[/mm]
>
> [mm]y_{4}=4[/mm]
>
>
> Schritt 3) Berechnete y-Werte in Gleichung II) einsetzen,
> um die jeweiligen x-Werte der möglichen Extrema zu
> erhalten.
>
>
> >> [mm]y_{1}=0[/mm] in Gleichung II) [mm]4x^{2}-x^{3}-2x^{2}y=0[/mm]
>
> [mm]4x^{2}-x^{3}=0[/mm]
>
> [mm]x^{2}(4-x)=0[/mm]
>
> [mm]x_{1,2}=0[/mm]
>
> Ergibt Punkt [mm]P_{1}(0,0)[/mm]
>
> 4-x=0
>
> [mm]x_{3}=4[/mm]
>
> Ergibt Punkt [mm]P_{2}(4,0)[/mm]
>
>
>
> >> [mm]y_{2}=-\bruch{3}{2}x+4[/mm] in Gleichung II)
> [mm]4x^{2}-x^{3}-2x^{2}y=0[/mm]
>
> [mm]4x^{2}-x^{3}-2x^{2}(-\bruch{3}{2}x+4)=0[/mm]
>
> [mm]-4x^{2}+2x^{3}=0[/mm]
>
> [mm]x^{2}(-4+2x)=0[/mm]
>
> [mm]x_{1,2}=0[/mm]
>
> Ergibt Punkt [mm]P_{3}(0,4)[/mm]
>
> -4+2x=0
>
> [mm]x_{3}=2[/mm]
>
> Ergibt Punkt [mm]P_{4}(2,1)[/mm]
>
>
> >> [mm]y_{4}=4[/mm] in Gleichung II) [mm]4x^{2}-x^{3}-2x^{2}y=0[/mm]
>
> [mm]-4x^{2}-x^{3}=0[/mm]
>
> [mm]x^{2}(-4-x)=0[/mm]
>
> [mm]x_{1,2}=0[/mm]
>
> Ergibt Punkt [mm]P_{5}(0,4).[/mm]
>
>
> -4-x=0
>
> [mm]x_{3}=-4[/mm]
>
> Ergibt Punkt [mm]P_{6}(-4,4)[/mm]
>
>
> Insgesamt haben wir so die Punkte der möglichen Extrema
> erhalten:
>
> [mm]P_{1}(0,0)[/mm]
>
> [mm]P_{2}(4,0)[/mm]
>
> [mm]P_{3}(0,4)[/mm]
>
> [mm]P_{4}(2,1)[/mm]
>
> [mm]P_{6}(-4,4)[/mm]
Hmmm.
Du hast richtig:
I) [mm]8yx-3yx^{2}-2y^{2}x=0[/mm]
II) [mm]4x^{2}-x^{3}-2x^{2}y=0[/mm]
Nun mal übersichtlich:
Aus I): [mm]x(8y-3yx-2y^2)=0[/mm]
Fall 1:[mm]x=0[/mm]
Dann ist I) erfüllt, und in II) steht [mm]0=0[/mm]
Also lösen [mm](x,y)=(0,t)[/mm] mit [mm]t\in\IR[/mm] das GLS
Fall 2: [mm]x\neq 0[/mm]
Dann mit I): [mm]y(8-3x-2y)=0[/mm]
Fall 2.1: [mm]y=0[/mm]
Dann mit II): [mm]4x^2-x^3=0[/mm], also [mm]x^2(4-x)=0[/mm], also [mm]x=4[/mm] (da ja [mm]x\neq 0[/mm] nach Generalvoraussetzung von Fall 2)
Das liefert [mm]P_1=(4,0)[/mm]
Fall 2.2: [mm]y\neq 0[/mm]
Dann muss nach I): [mm]8-3x-2y=0[/mm], also [mm]y=-3/2x+4[/mm]
Damit in II): [mm]4x^2-x^3-2x^2(-3/2x+4)=0[/mm], also [mm]2x^2(-2+x)=0[/mm], also [mm]x=2[/mm] (da immer noch [mm]x\neq 0[/mm])
Mit [mm]x=2[/mm] ergibt sich aus [mm]y=-3/2x+4[/mm] dann [mm]y=-3/2\cdot{}2+4=1[/mm]
Mithin [mm]P_2=(2,1)[/mm]
>
>
> Die es nun durch einsetzen in die Hesse-Matrix auf Maximum,
> Minimum oder Sattelpunkt zu untersuchen gilt.
So ist es ...
>
>
> Ist das bis hier richtig?
Ich kann deine Lösung nicht so ganz nachvollziehen. Du hast dich zwar bemüht, das übersichtlich zu machen, aber ich finde nicht so recht die Struktur.
Vllt. kommentierst du das mal besser.
Oder du schaust dir "meinen" Weg mal an - vllt. findest du da ja auch einen Fehler ...
>
>
> Gruß, Andreas
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Fr 07.06.2013 | | Autor: | Mathe-Andi |
Danke erstmal schachuzipus,
das ist schon einleuchtend. Ich werde noch ein paar mehr Übungsaufgaben machen. Sollte ich Schwierigkeiten dabei haben melde ich mich wieder.
Und ich gliedere demnächst übersichtlicher, versprochen
Gruß, Andreas
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Ableitungen & Gleichungen hab ich auch so.
Aus der ersten Gleichung bekommt man durch ausklammern erstmal auf y=0 (wie du auch schon bemerkt hast)
[mm] 8yx-3yx^2-2y^2*x=0 [/mm]
[mm] =y(8x-3x^2-2yx)=0 [/mm] ->y=0
[mm] 8x-3x^2-2yx=0
[/mm]
8-3x=2y
[mm] 4-\bruch{3}{2}x=y
[/mm]
Dies könn wir jetzt super in die 2te Gleichung eintragen. Also steht dort:
II: [mm] 4x^2-2x^2*(4-\bruch{3}{2}x)-x^3=0
[/mm]
Durch umformen stoßen wir auch hier wieder auf die doppelte Nullstelle.
[mm] x^2(2x-4)=0 ->x_{1}_{2}=0
[/mm]
2x-4=0
x=2 ->x=2
Jetzt können wir die den zugehörigen x-Wert für x=2 bestimmen, indem wir diesen wiederum in die erste Gleichung einsetzen.
[mm] 16y-12y-4y^2=0
[/mm]
[mm] -4y^2+4y=0
[/mm]
y=1 , y=0
Also haben wir somit folgende Punkte bestimmen können.
[mm] P_{1}(2,1) [/mm] & [mm] P_{2}(2,0)
[/mm]
den Punkt P(4,0) hast du ja schon gefunden.
Du könntest jetzt noch prüfen was für y=0 (du erinnerst dich) herauskommt.
Letztendlich musst du dann noch nur prüfen ob es sich bei den Punkten tatsächlich um Extrema handelt.
LG,
Jones
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:00 Do 06.06.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo DowJones,
> Also haben wir somit folgende Punkte bestimmen können.
> [mm]P_{1}(2,1)[/mm] & [mm]P_{2}(2,0)[/mm]
Der Punkt [mm] P_2 [/mm] löst die zweite Gleichung allerdings nicht.
[mm] 4x^2-x^3-2x^2y=8\not=0
[/mm]
> den Punkt P(4,0) hast du ja schon gefunden.
> Du könntest jetzt noch prüfen was für y=0 (du erinnerst
> dich) herauskommt.
>
> Letztendlich musst du dann noch nur prüfen ob es sich bei
> den Punkten tatsächlich um Extrema handelt.
>
> LG,
> Jones
>
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