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| Aufgabe | | Berechne die Extremwerte der Funktion f(x)=x sin(x)! |
Bis jetzt habe ich:
f'(x)=sin(x)+x cos(x).
Also muss ich folgende Gleichung lòsen:
sin(x)+x cos(x)=0.
Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
Danke im Voraus.
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Hallo,
du musst in jedem Fall die Identität
[mm] tan(x)=\bruch{sin(x)}{cos(x)}
[/mm]
verwenden, sowie die Erkenntnis, dass die 1. Winkelhalbierende Wendetangente an das Schaubild der Tangensfunktion ist.
Damit aber diese Überlegungen ausreichen, müsste der Definitionsbereich geeignet gewählt sein. Du hast keinen angegeben. Daher die Frage: wie lautet der Definitionsbereich laut Aufgabenstellung?
Gruß, Diophant
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Ja stimmt, tut mir leid, der Definitionsbereich ist das Intervall [mm] [0,2\pi].
[/mm]
Also bekomme ich die Gleichung: tan(x)=-x.
Ist die Lòsung x=0? Aber wie komme ich zu diesem Schluss?
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Hallo,
das mit dem Definitionsbereich ist dann nicht so günstig.
Aber zunächst etwas anderes: mir ist das Minuszeichen durch die Lappen gegangen. Deine Gleichung stimmt so, aber den Tipp mit derWinkelhalbierenden vergiss dann bitte schnell wieder.
Es ist tan(0)=0, das sollte man wissen. 
Es gibt dann allerdings noch zwei weitere Lösungen, die man nicht analytisch gewinnen kann. Das musst du jetzt selbst wissen: sollt ihr das mit einem Näherungsverfahren machen oder mit GTR/CAS? Eine von beiden Varianten wirst du benötigen.
Gruß, Diophant
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Oje oje, GTR/CAS habe ich noch nie gehòrt. Nàherungsverfahren kenne ich einige, z.B. das Newtonsche... Ist das aber die einzige Mòglichkeit?
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Hallo,
GTR: Grafikfähiger Taschenrechner
CAS: Computeralgebra-System
Wenn du das Newton-Verfahren drauf hast, dann bietet sich dass aber an. Das Problem an der Sache ist nämlich, dass sich für transzendente Funktionen f(x) Gleichungen der Form
x+f(x)=c bzw.
x*f(x)=c
nicht analytisch, also durch Umstellen nach x, lösen lassen. Da braucht es solche Sonderfälle wie eben tan(0)=0, damit einem eine Lösung quasi in den Schoß fällt.
Gruß, Diophant
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Ok, danke fùr deine Hilfe
Noch eine kleine Frage, wenn die Gleichung tan(x)=x gewesn wàre, wie kònnte ich dann das mit der 1. Winkelhalbierenden ausnutzen? Brauche ich hierfùr kein Nàherungsverfahren?
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Hallo,
> Ok, danke fùr deine Hilfe
> Noch eine kleine Frage, wenn die Gleichung tan(x)=x gewesn
> wàre, wie kònnte ich dann das mit der 1.
> Winkelhalbierenden ausnutzen? Brauche ich hierfùr kein
> Nàherungsverfahren?
Wenn der Definitionsbereich zusätzlich noch auf [mm] (-\pi/2;\pi/2) [/mm] eingeschränkt ist, kann man damit einfach begründen, dass x=0 die einzige Lösung ist. tan(0)=0 folgt aber eben aus der Definition der Tangensfunktion am Einheitskreis.
Gruß, Diophant
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