Extremwerte, Sattelpunkte < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 Do 02.02.2012 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | Alle relativen Extremwerte und Sattelpunkte für folgende Funktion bestimmen [mm]f:\IR^3\to\IR[/mm]
[mm]f(x,y,z)=-\dfrac{1}{1+x^2}+y^2z+y^2+z^3-6z^2+9z[/mm]
Bestimmen Sie auch die zugehörigen Funktionswerte. |
Guten Abend, bin gerade am lernen und bekomme das nicht so ganz hin.
Um die kritischen Punkte zu bestimmen, bildet man das Gleichungssystem aus der Bedingung [mm]\bigtriangledown f=\vec{0}[/mm]:
[mm]\dfrac{2x}{^(1+x^2)^2}=0
[/mm]
[mm]2yz+2y=0
[/mm]
[mm]
y^2+3z^2-12z+9=0
[/mm]
Ich komme dann auf :
$x=0$
$y=0$
und $z=3$ bzw. $z=1$
Also zwei kritische Punkte
[mm]\vec{x}_1=(0,0,3)^T
[/mm] und [mm]\vec{x}_2=(0,0,1)^T
[/mm]
Wie stelle ich denn jetzt die Hesse-Matrix auf? Komme sonst nicht weiter...
Danke
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Hallo
> Alle relativen Extremwerte und Sattelpunkte für folgende
> Funktion bestimmen [mm]f:\IR^3\to\IR[/mm]
>
> [mm]f(x,y,z)=-\dfrac{1}{1+x^2}+y^2z+y^2+z^3-6z^2+9z[/mm]
>
> Bestimmen Sie auch die zugehörigen Funktionswerte.
>
>
>
> Guten Abend, bin gerade am lernen und bekomme das nicht so
> ganz hin.
>
> Um die kritischen Punkte zu bestimmen, bildet man das
> Gleichungssystem aus der Bedingung [mm]\bigtriangledown f=\vec{0}[/mm]:
>
> [mm]\dfrac{2x}{^(1+x^2)^2}=0
[/mm]
>
> [mm]2yz+2y=0
[/mm]
>
> [mm]
y^2+3z^2-12z+9=0
[/mm]
>
> Ich komme dann auf :
>
> [mm]x=0[/mm]
> [mm]y=0[/mm]
> und [mm]z=3[/mm] bzw. [mm]z=1[/mm]
>
> Also zwei kritische Punkte
>
> [mm]\vec{x}_1=(0,0,3)^T
[/mm] und [mm]\vec{x}_2=(0,0,1)^T
[/mm]
>
> Wie stelle ich denn jetzt die Hesse-Matrix auf? Komme sonst
> nicht weiter...
Bestimme die zweiten Ableitungen der Funktion.
Siehe ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Hesse-Matrix
>
> Danke
>
>
>
Gruß
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Do 02.02.2012 | | Autor: | lzaman |
Also:
[mm]f''=Hess \ f=\pmat{ f_{xx} & f_{xy} & f_{xz} \\
f_{yx} & f_{yy} & f_{yz} \\
f_{zx} & f_{zy} & f_{zz}} [/mm]
Für meine Funktion ist das dann:
[mm]f_{xx}=\dfrac{2+2x^2+x^4-8x^2-8x^4}{(1+x^2)^4}[/mm] [mm]f_{xy}=0[/mm] [mm]f_{xz}=0[/mm]
[mm]f_{yx}=0[/mm] [mm]f_{yy}=2z+2[/mm] [mm]f_{yz}=2y[/mm]
[mm]f_{zx}=0[/mm] [mm]f_{zy}=2y[/mm] [mm]f_{zz}=6z-12[/mm]
[mm]Hess \ f=\pmat{ \dfrac{2+2x^2+x^4-8x^2-8x^4}{(1+x^2)^4} & 0 & 0 \\
0 & 2z+2 & 2y \\
0 & 2y & 6z-12} [/mm]
mit den Werten dann:
[mm]Hess \ f(0,0,3)=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\
0 & 8 & 0 \\
0 & 0 & 6} [/mm] und [mm]Hess \ f(0,0,1)=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & -6} [/mm]
Wäre nett, wenn Ihr meine Rechnung prüfen könntet. Was sagt mir das jetzt über die Extremwerte bzw. Sattelpunkte aus?
Etwa, dass bei [mm] \vec{x}_1 [/mm] ein lokales Minimum vorliegt und bei [mm] \vec{x}_2 [/mm] ein Sattelpunkt?
Jetzt weiss ich dann nur noch nicht wie ich die Funktionswerte berechnen soll? Welche Funktionen bzw. partiellen Ableitungen sind denn dafür jetzt relevant?
Etwa die gegebene Funktion
[mm] f(x,y,z)=-\dfrac{1}{1+x^2}+y^2z+y^2+z^3-6z^2+9z [/mm]
[mm] f(0,0,3)=-\dfrac{1}{1+0^2}+0^2 \cdot 3+0^2+3^3-6\cdot 3^2+9\cdot [/mm] 3=-1
und
[mm] f(0,0,1)=-\dfrac{1}{1+0^2}+0^2 \cdot 1+0^2+1^3-6\cdot 1^2+9\cdot [/mm] 1=3
?????
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:04 Fr 03.02.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Also:
>
> [mm]f''=Hess \ f=\pmat{ f_{xx} & f_{xy} & f_{xz} \\
f_{yx} & f_{yy} & f_{yz} \\
f_{zx} & f_{zy} & f_{zz}}[/mm]
>
> Für meine Funktion ist das dann:
>
> [mm]f_{xx}=\dfrac{2+2x^2+x^4-8x^2-8x^4}{(1+x^2)^4}[/mm] [mm]f_{xy}=0[/mm]
> [mm]f_{xz}=0[/mm]
>
> [mm]f_{yx}=0[/mm] [mm]f_{yy}=2z+2[/mm] [mm]f_{yz}=2y[/mm]
>
> [mm]f_{zx}=0[/mm] [mm]f_{zy}=2y[/mm] [mm]f_{zz}=6z-12[/mm]
>
>
> [mm]Hess \ f=\pmat{ \dfrac{2+2x^2+x^4-8x^2-8x^4}{(1+x^2)^4} & 0 & 0 \\
0 & 2z+2 & 2y \\
0 & 2y & 6z-12}[/mm]
>
> mit den Werten dann:
>
> [mm]Hess \ f(0,0,3)=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\
0 & 8 & 0 \\
0 & 0 & 6}[/mm]
> und [mm]Hess \ f(0,0,1)=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & -6}[/mm]
>
> Wäre nett, wenn Ihr meine Rechnung prüfen könntet. Was
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> sagt mir das jetzt über die Extremwerte bzw. Sattelpunkte
> aus?
Noch nichts.
>
> Etwa, dass bei [mm]\vec{x}_1[/mm] ein lokales Minimum vorliegt und
> bei [mm]\vec{x}_2[/mm] ein Sattelpunkt?
Dazu musst Du die entsprechenden Hesse-Matrizen auf Definitheit prüfen. Dazu gibt es verschiedene Möglichkeiten, ich mach das am liebsten über die Hauptminoren.
Ganz analog zum eindimensionalen Fall liegt ein Maximum vor wenn die Matrix negativ definit ist und umgekehrt.
>
>
> Jetzt weiss ich dann nur noch nicht wie ich die
> Funktionswerte berechnen soll? Welche Funktionen bzw.
> partiellen Ableitungen sind denn dafür jetzt relevant?
>
Mit den Ableitungen hat das gar nichts zu tun. Es soll ja der Funktionswert des Extremums bestimmt werden, dazu setzt Du den entsprechenden Wert einfach in die Funktion ein.
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 Fr 03.02.2012 | | Autor: | lzaman |
Danke, ich glaube ich habs. Ich stelle jetzt einfach mal einen Satz auf:
Bei Diagonalmatrizen sind die Eigenwerte in der Diagonalen
also:
2,8,6 und 2,4,-6
bedeutet:
bei [mm](1)[/mm] positiv definit [mm]\Rightarrow[/mm]lokales Minimium
und
bei [mm](2)[/mm] indefinit [mm]\Rightarrow(2)[/mm] Sattelpunkt
und
Die Funktionswerte sind:
[mm]f(0,0,3)=-\dfrac{1}{1+{\color{RubineRed}0}^2}+{\color{green}0}^2 \cdot {\color{Orange}3}+{\color{green}0}^2+{\color{Orange}3}^3-6\cdot {\color{Orange}3}^2+9\cdot {\color{Orange}3}=-1
[/mm]
und
[mm]f(0,0,1)=-\dfrac{1}{1+{\color{RubineRed}0}^2}+{\color{green}0}^2 \cdot {\color{Orange}1}+{\color{green}0}^2+{\color{Orange}1}^3-6\cdot {\color{Orange}1}^2+9\cdot {\color{Orange}1}=3
[/mm]
Bitte korrigiert mich, wenn das alles keinen Sinn ergibt.
Danke
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Hallo Izaman,
> Danke, ich glaube ich habs. Ich stelle jetzt einfach mal
> einen Satz auf:
>
> Bei Diagonalmatrizen sind die Eigenwerte in der Diagonalen
>
> also:
>
> 2,8,6 und 2,4,-6
>
> bedeutet:
>
> bei [mm](1)[/mm] positiv definit [mm]\Rightarrow[/mm]lokales Minimium
>
> und
>
> bei [mm](2)[/mm] indefinit [mm]\Rightarrow(2)[/mm] Sattelpunkt
>
> und
>
> Die Funktionswerte sind:
>
> [mm]f(0,0,3)=-\dfrac{1}{1+{\color{RubineRed}0}^2}+{\color{green}0}^2 \cdot {\color{Orange}3}+{\color{green}0}^2+{\color{Orange}3}^3-6\cdot {\color{Orange}3}^2+9\cdot {\color{Orange}3}=-1
[/mm]
>
> und
>
> [mm]f(0,0,1)=-\dfrac{1}{1+{\color{RubineRed}0}^2}+{\color{green}0}^2 \cdot {\color{Orange}1}+{\color{green}0}^2+{\color{Orange}1}^3-6\cdot {\color{Orange}1}^2+9\cdot {\color{Orange}1}=3
[/mm]
>
> Bitte korrigiert mich, wenn das alles keinen Sinn ergibt.
>
Das ergibt einen Sinn.
> Danke
>
Gruss
MathePower
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