Extremwerte Vorzeichenbetracht < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 So 06.11.2011 | | Autor: | Aischi |
| Aufgabe | | Bestimmen sie die Extremstellen der Funktion f(x)=1/4 [mm] x^4 [/mm] |
Eigentlich ist mir die Vorgehensweise klar:
1. f'(x)=0 setzen [ f'(x)=x³ --> x=0 ]
2. f''(x0) ausrechnen [ f''(0)=0 ]
Hier weiß ich, wenn f''(x0)>0 , handelt es sich um ein lokales Minumum an dieser Stelle und wenn f''(x0)<0 , ist es ein lokales Maximum.
Aber wenn f''(x)=0 ist, muss man prüfen, ob ein Vorzeichen vorliegt und genau hier liegt mein Problem. Früher haben wir das einfach mit Testwerten gemacht, jetzt haben wir aber eine neue Methode gelernt, nämlich die "Vorzeichenbetrachtung einer Produktfunktion".
Unser Heftaufschrieb dazu lautet:
Für eine Produktfunktion f(x)=f1(x)*f2(x) lässt sich das Vorzeichenverhalten anhand der Faktorfunktionen f1 und f2 untersuchen.
Falls f1(x)>0 und f2(x)>0, dann ist f(x)>0
Falls f1(x)>0 und f2(x)<0, dann ist f(x)<0
Falls f1(x)<0 und f2(x)>0, dann ist f(x)<0
Falls f1(x)<0 und f2(x)<0, dann ist f(x)>0
Das ist mir insofern klar, weil + mal + = + , + mal - = - und - mal - = + .
Aber was ist egtl f1(x) und f2(x) und wie sieht das dann in der Praxis gerechnet aus?? Arbeite ich mit Testwerten oder wie??
Vielen Dank für die Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 So 06.11.2011 | | Autor: | chrisno |
Das ist schon für die 7. Klasse ein ungewöhnlicher Stoff. Nun versuche ich, das altersgemäß zu beantworten.
> Aber wenn f''(x)=0 ist, muss man prüfen, ob ein Vorzeichen vorliegt
Das allerdings zwing mich zum Raten:
Es könnte gemeint sein, "ob ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitungsfunktion vorliegt".
Habe ich richtig geraten?
> Aber was ist egtl f1(x) und f2(x) und wie sieht das dann in der Praxis gerechnet aus??
Du hast eine Funktion, zum Beispiel (x-3)*(x+4). Da springt es ins Auge, wie sie ein Produkt zweier Funktionen ist. Für $f(x)= [mm] \bruch{1}{4} x^4 [/mm] $ macht dieses Verfahren aber wenig Sinn.
> Arbeite ich mit Testwerten oder wie??
Nein.
Mach es mal so:
Du hast die erste Ableitung $f'(x) = [mm] x^3$
[/mm]
Du hast auch schon $f'(0) = 0$, also einen Kandidaten für ein lokales Extremum.
Nun betrachte $f'(x)$ falls x > 0, also rechts vom Kandidatenpunkt. Ist da $f'(x)$ größer oder kleiner als null?
Nun betrachte $f'(x)$ falls x < 0, also links vom Kandidatenpunkt. Ist da $f'(x)$ größer oder kleiner als null?
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