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Extremwerte bestimmen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:14 Mi 22.03.2006
Autor: krispel

Aufgabe
Bestimmen Sie die singulären Stellen und Extremwerte der folgenden Funktionen:

f(x, y) = cos(x + y) cos(xy)

Hallo wiedermal,

also um die kritischen Punkte aufzufinden, muss man ja den Gradienten von f=0 setzen

Ich habe meine Funktion bereits nach x und y abgeleitet, komme aber nun beim Lösen der Gleichung einfach nicht weiter:

fx = -sin(x+y) * cos(xy) + cos(x+y) * (-sin(xy)) * y = 0

fy = -sin(x+y) * cos(xy) + cos(x+y) * (-sin(xy)) * x = 0

Danke im Vorraus

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Extremwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:58 Mi 22.03.2006
Autor: felixf

Hallo!

> Bestimmen Sie die singulären Stellen und Extremwerte der
> folgenden Funktionen:
>  
> f(x, y) = cos(x + y) cos(xy)
>  Hallo wiedermal,
>  
> also um die kritischen Punkte aufzufinden, muss man ja den
> Gradienten von f=0 setzen
>  
> Ich habe meine Funktion bereits nach x und y abgeleitet,
> komme aber nun beim Lösen der Gleichung einfach nicht
> weiter:
>  
> fx = -sin(x+y) * cos(xy) + cos(x+y) * (-sin(xy)) * y = 0
>  
> fy = -sin(x+y) * cos(xy) + cos(x+y) * (-sin(xy)) * x = 0

Da beide $0$ sein sollen kannst du sie ja erstmal gleichsetzen. Dann ergibt sich [mm] $\cos(x [/mm] + y) [mm] \sin(x [/mm] y) (x - y) = 0$. Also ist entweder (i) [mm] $\cos(x [/mm] + y) = 0$, (ii) [mm] $\sin(x [/mm] y) = 0$ oder (iii) $x = y$.

Zu (i): Dann ist [mm] $\sin(x [/mm] + y) = [mm] \pm [/mm] 1$, womit [mm] $\cos(xy) [/mm] = 0$ sein muss. Du hast also die Gleichungen $x + y - [mm] \pi/2 \in \pi\IZ$ [/mm] und $x y - [mm] \pi/2 \in \pi\IZ$. [/mm] (Und alle Loesungen davon erfuellen $fx = 0 = fy$.)

Zu (ii): Dann ist [mm] $\cos(x [/mm] y) = [mm] \pm [/mm] 1$, womit [mm] $\sin(x [/mm] + y) = 0$ sein muss. Du hast also die Gleichungen $x + y [mm] \in \pi\IZ$ [/mm] und $x y [mm] \in \pi\IZ$. [/mm] (Und alle Loesungen davon erfuellen $fx = 0 = fy$.)

Jetzt kannst du schonmal alle Paare $(x, y)$ angeben, die die Gleichungen in (i) oder (ii) erfuellen.

Zu (iii): Es ist $-fx = -fy = [mm] \sin(2 [/mm] x) [mm] \cos(x^2) [/mm] + [mm] \cos(2 [/mm] x) [mm] \sin(x^2) [/mm] x$. Vielleicht kannst du hier ein wenig mit den Additionstheoremen machen...

HTH & LG Felix


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