Extremwerte einer Fkt. mit NB < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:52 Do 29.05.2008 | | Autor: | medion |
| Aufgabe | Finde die Extremwerte der folgenden Funktion unter der angegebenen NB:
f(x,y) = x + y² min!
NB: 2x² + y² -1 = 0 |
Hallo!
Ich habe versucht, die Extremwerte mittels der Lagrange-Funktion zu ermitteln, dabei kam folgendes raus:
[mm] L(x,y,\lambda) [/mm] = x + y² - [mm] \lambda [/mm] * (2x² + y² -1)
grad L = [mm] \vektor{1 - 4x\lambda \\ 2y - 2y\lambda \\ -(2x² + y² -1)}
[/mm]
Nach diversen Umformungen ergeben sich mir 4 kritische Punkte:
[mm] A_{1} (\bruch{1}{\wurzel{2}},0)
[/mm]
[mm] A_{2} (-\bruch{1}{\wurzel{2}},0)
[/mm]
[mm] A_{3} (\bruch{1}{4},\wurzel{\bruch{7}{8}})
[/mm]
[mm] A_{4} (\bruch{1}{4},-\wurzel{\bruch{7}{8}})
[/mm]
Die umrandete Hesse-Matrix sieht bei mir demnach so aus:
H = [mm] \pmat{ 0 & 4x & 2y \\ 4x & -4\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2-2\lambda }
[/mm]
Ich weiß jetzt leider nicht, welchen Wert ich für [mm] \lambda [/mm] einsetzen soll, damit ich mir ausrechnen kann, ob diese 4 Punkte Minimizer/Maximizer sind.
Kann mir bitte jemand helfen?
mfg
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Hi,
> Finde die Extremwerte der folgenden Funktion unter der
> angegebenen NB:
> f(x,y) = x + y² min!
> NB: 2x² + y² -1 = 0
> Hallo!
>
> Ich habe versucht, die Extremwerte mittels der
> Lagrange-Funktion zu ermitteln, dabei kam folgendes raus:
>
> [mm]L(x,y,\lambda)[/mm] = x + y² - [mm]\lambda[/mm] * (2x² + y² -1)
>
> grad L = [mm]\vektor{1 - 4x\lambda \\ 2y - 2y\lambda \\ -(2x² + y² -1)}[/mm]
>
> Nach diversen Umformungen ergeben sich mir 4 kritische
> Punkte:
>
> [mm]A_{1} (\bruch{1}{\wurzel{2}},0)[/mm]
> [mm]A_{2} (-\bruch{1}{\wurzel{2}},0)[/mm]
>
> [mm]A_{3} (\bruch{1}{4},\wurzel{\bruch{7}{8}})[/mm]
> [mm]A_{4} (\bruch{1}{4},-\wurzel{\bruch{7}{8}})[/mm]
>
> Die umrandete Hesse-Matrix sieht bei mir demnach so aus:
>
> H = [mm]\pmat{ 0 & 4x & 2y \\ 4x & -4\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2-2\lambda }[/mm]
>
> Ich weiß jetzt leider nicht, welchen Wert ich für [mm]\lambda[/mm]
> einsetzen soll, damit ich mir ausrechnen kann, ob diese 4
> Punkte Minimizer/Maximizer sind.
> Kann mir bitte jemand helfen?
>
> mfg
wie lautet denn die aufgabe, sollt ihr lokale oder das globale minimum bestimmen?
im falle des globalen brauchst die die hesse-matrix denke ich nicht. rechne die werte von f an den 4 kritischen punkten aus, dort wo er am niedrigsten ist, muss ein glob. minimum liegen. denn: die menge, die durch die NB beschrieben wird, ist kompakt (so etwas wie eine ellipse). f nimmt also in jedem fall auf der menge ihr glob. minimum an.
gruss
matthias
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