Extremwerte \mehrere Variablen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Mi 25.01.2012 | | Autor: | tnaboc |
| Aufgabe | Bestimmen Sie mit der Überprüfung hinreichender und notwendiger Bedingungen die Extremwerte folgender Funktion:
f(x,y) = [mm] 3xy^{2} [/mm] – [mm] x^{2} [/mm] – [mm] 6y^{2} [/mm] – 8x |
Hallo ich stehe zurzeit, bei der Lösung dieser Aufgabe, total aufm Schlauch. Mein Ansatz wäre für die notwendige Bedingung die erste partielle Ableitung nach x und y zu bilden und für die hinreichende Bedingung die Zweite. Jedoch scheitere ich berteit bei der ersten partiellen Ableitung.
1te nach x
[mm] \alpha [/mm] f(x,y) / [mm] \alpha [/mm] x = [mm] 3y^{2} [/mm] - 2x - 8
1te nach y
[mm] \alpha [/mm] f(x,y) / [mm] \alpha [/mm] y = 6xy - 12y
Könnt ihr mir einen Hinweis auf meinen Fehler geben? Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 Mi 25.01.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Bestimmen Sie mit der Überprüfung hinreichender und
> notwendiger Bedingungen die Extremwerte folgender
> Funktion:
> f(x,y) = [mm]3xy^{2}[/mm] – [mm]x^{2}[/mm] – [mm]6y^{2}[/mm] – 8x
> Hallo ich stehe zurzeit, bei der Lösung dieser Aufgabe,
> total aufm Schlauch. Mein Ansatz wäre für die notwendige
> Bedingung die erste partielle Ableitung nach x und y zu
> bilden und für die hinreichende Bedingung die Zweite.
> Jedoch scheitere ich berteit bei der ersten partiellen
> Ableitung.
>
> 1te nach x
> [mm]\alpha[/mm] f(x,y) / [mm]\alpha[/mm] x = [mm]3y^{2}[/mm] - 2x - 8
> 1te nach y
> [mm]\alpha[/mm] f(x,y) / [mm]\alpha[/mm] y = 6xy - 12y
Meinst Du mit diesen Ausdrücken
[mm] \bruch{\partial{f(x,y)}}{\partial{x}} [/mm] und [mm] \bruch{\partial{f(x,y)}}{\partial{y}}
[/mm]
Dann ist das Ergebnis richtig.
Die Ableitungen musst Du 0 setzen und das nach x und y auflösen. Dann must Du noch überprüfen ob wirklich ein Maximum oder Minimum vorliegt.
> Könnt ihr mir einen Hinweis auf meinen Fehler geben?
> Danke!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Mi 25.01.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
> x = [mm]\bruch{3}{2}y^{2}[/mm] -4
>
>
> Dieses x setze ich nun in die Ableitung von y ein und löse
> nach y auf:
>
> [mm]6*(\bruch{3}{2}y^{2}[/mm] -4)y -12y = 0
> [mm](9y^{2}[/mm] -24)y -12y = 0
> [mm]9y^{3}[/mm] -24y -12y = 0 |+36y
> [mm]9y^{3}[/mm] = 36y | :9
> [mm]y^{3}[/mm] = 4y
> y = [mm]\wurzel[3]{4}[/mm]
Hier ist der Fehler. Wurzel ziehen würde bedeuten [mm] y=\wurzel[3]{4y} [/mm] das heisst Du hast das y vergessen, würde Dich aber auch nicht weiterbringen.
Es gilt
[mm] y^3-4y=y(y^2-4)=0 [/mm] genau dann, wenn y=0 oder y=-2 oder y=2 ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:45 Do 26.01.2012 | | Autor: | tnaboc |
Vielen Dank für deine Hilfe.
Somit müsste x=-4 und x=6 sein?
Und die möglichen Extrema liegen dann bei
(-4;-2) (-4;0) (-4;2) (6;-2) (6;0) (6;2)
War dies nun die notwendige Bedingung?
Wenn ja wie würde die hinreichende Bedingung aussehen?
2te Ableitung von x:
$ [mm] \bruch{\partial{2f}}{\partial{x^{2}}} [/mm] $ = [mm] y^{2} [/mm] -2
2te Ableitung von y:
$ [mm] \bruch{\partial{2f}}{\partial{y^{2}}} [/mm] $ = x - 12
(-4;-2) -> $ [mm] \bruch{\partial{2f}}{\partial{x^{2}}} [/mm] $ = [mm] -2^{2} [/mm] -2 = 2 > 0 [mm] \wedge [/mm] $ [mm] \bruch{\partial{2f}}{\partial{y^{2}}} [/mm] $ = -4 -12 = -16 < 0 => Sattelpunkt
(-4;0) -> $ [mm] \bruch{\partial{2f}}{\partial{x^{2}}} [/mm] $ = [mm] 0^{2} [/mm] -2 = -2 < 0 [mm] \wedge [/mm] $ [mm] \bruch{\partial{2f}}{\partial{y^{2}}} [/mm] $ = -4 -12 = -16 < 0 => Maximum
(-4;2) -> $ [mm] \bruch{\partial{2f}}{\partial{x^{2}}} [/mm] $ = [mm] 2^{2} [/mm] -2 = 2 > 0 [mm] \wedge [/mm] $ [mm] \bruch{\partial{2f}}{\partial{y^{2}}} [/mm] $ = -4 -12 = -16 < 0 => Sattelpunkt
(6;-2) -> $ [mm] \bruch{\partial{2f}}{\partial{x^{2}}} [/mm] $ = [mm] -2^{2} [/mm] -2 = 2 > 0 [mm] \wedge [/mm] $ [mm] \bruch{\partial{2f}}{\partial{y^{2}}} [/mm] $ = 6 -12 = -6 < 0 => Sattelpunkt
(6;0) -> $ [mm] \bruch{\partial{2f}}{\partial{x^{2}}} [/mm] $ = [mm] 0^{2} [/mm] -2 = -2 < 0 [mm] \wedge [/mm] $ [mm] \bruch{\partial{2f}}{\partial{y^{2}}} [/mm] $ = 6 -12 = -6 < 0 => Maximum
(6;0) -> $ [mm] \bruch{\partial{2f}}{\partial{x^{2}}} [/mm] $ = [mm] 0^{2} [/mm] -2 = 2 > 0 [mm] \wedge [/mm] $ [mm] \bruch{\partial{2f}}{\partial{y^{2}}} [/mm] $ = 6 -12 = -6 < 0 => Sattelpunkt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:23 Do 26.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für deine Hilfe.
>
> Somit müsste x=-4 und x=6 sein?
Nein. Wir hatten: [mm] x=\bruch{3}{2}y^2-4 [/mm] und y [mm] \in \{-2,0,2\}
[/mm]
Das liefert die 3 Punkte
(-4,0) , (2,2) und (2,-2)
FRED
>
> Und die möglichen Extrema liegen dann bei
> (-4;-2) (-4;0) (-4;2) (6;-2) (6;0) (6;2)
>
> War dies nun die notwendige Bedingung?
>
> Wenn ja wie würde die hinreichende Bedingung aussehen?
>
> 2te Ableitung von x:
> [mm]\bruch{\partial{2f}}{\partial{x^{2}}}[/mm] = [mm]y^{2}[/mm] -2
>
> 2te Ableitung von y:
> [mm]\bruch{\partial{2f}}{\partial{y^{2}}}[/mm] = x - 12
>
> (-4;-2) -> [mm]\bruch{\partial{2f}}{\partial{x^{2}}}[/mm] = [mm]-2^{2}[/mm]
> -2 = 2 > 0 [mm]\wedge[/mm] [mm]\bruch{\partial{2f}}{\partial{y^{2}}}[/mm]
> = -4 -12 = -16 < 0 => Sattelpunkt
>
> (-4;0) -> [mm]\bruch{\partial{2f}}{\partial{x^{2}}}[/mm] = [mm]0^{2}[/mm] -2
> = -2 < 0 [mm]\wedge[/mm] [mm]\bruch{\partial{2f}}{\partial{y^{2}}}[/mm] =
> -4 -12 = -16 < 0 => Maximum
>
> (-4;2) -> [mm]\bruch{\partial{2f}}{\partial{x^{2}}}[/mm] = [mm]2^{2}[/mm] -2
> = 2 > 0 [mm]\wedge[/mm] [mm]\bruch{\partial{2f}}{\partial{y^{2}}}[/mm] =
> -4 -12 = -16 < 0 => Sattelpunkt
>
> (6;-2) -> [mm]\bruch{\partial{2f}}{\partial{x^{2}}}[/mm] = [mm]-2^{2}[/mm]
> -2 = 2 > 0 [mm]\wedge[/mm] [mm]\bruch{\partial{2f}}{\partial{y^{2}}}[/mm]
> = 6 -12 = -6 < 0 => Sattelpunkt
>
> (6;0) -> [mm]\bruch{\partial{2f}}{\partial{x^{2}}}[/mm] = [mm]0^{2}[/mm] -2
> = -2 < 0 [mm]\wedge[/mm] [mm]\bruch{\partial{2f}}{\partial{y^{2}}}[/mm] = 6
> -12 = -6 < 0 => Maximum
>
> (6;0) -> [mm]\bruch{\partial{2f}}{\partial{x^{2}}}[/mm] = [mm]0^{2}[/mm] -2
> = 2 > 0 [mm]\wedge[/mm] [mm]\bruch{\partial{2f}}{\partial{y^{2}}}[/mm] = 6
> -12 = -6 < 0 => Sattelpunkt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:42 Do 26.01.2012 | | Autor: | tnaboc |
Ahh so viele Fehler. Vielen Dank für eure Hilfe.
Aber noch eine Frage. Wäre mein 2ter Schritt (zur hinreichenden Bedingung) in Ordnung, wenn ich nur die möglichen Extremwerte (-4,0) , (2,2) und (2,-2) berücksichtigen würde?
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Hallo,
> Ahh so viele Fehler. Vielen Dank für eure Hilfe.
>
> Aber noch eine Frage. Wäre mein 2ter Schritt (zur
> hinreichenden Bedingung) in Ordnung, wenn ich nur die
> möglichen Extremwerte (-4,0) , (2,2) und (2,-2)
> berücksichtigen würde?
Mir ist (möglicherweise aufgrund deines nicht leicht zu entziffernden und sehr wortkargen Aufschriebs) leider überhaupt nicht klar, was das für eine hinreichende Bedingung sein soll?
Offenbar untersuchst du die 2ten partiellen Ableitungen [mm]f_{xx}[/mm] und [mm]f_{yy}[/mm] an den "kritischen" Stellen auf Positivität bzw. Negativität?!
Ein solches Kriterium kenne ich nicht.
Du musst die Hessematrix bzgl. f aufstellen und deren Definitheit an diesen kritischen Stellen (stationären Punkten) untersuchen.
Dazu gibt's viele Möglichkeiten und auch einen "kurzen" speziell für [mm]2\times 2[/mm]-Matrizen wie hier ...
Also schreibe nochmal sauber auf, was du genau machst, bzw. mache das mal mit der Hessematrix ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Do 26.01.2012 | | Autor: | tnaboc |
Um nocheinmal zusammenzufassen:
Ich soll in folgender Funktion die Extremwerte festlegen:
f(x,y) = [mm] 3xy^{2} -x^{2} -6y^{2} [/mm] -8x
Ich bilde hiervon zunächst einmal folgende Ableitungen:
$ [mm] \bruch{\partial{f(x,y)}}{\partial{x}} [/mm] $ = [mm] 3y^{2} [/mm] -2x -8
und
$ [mm] \bruch{\partial{f(x,y)}}{\partial{y}} [/mm] $ = 6xy -12y
Im nächsten Schritt $ [mm] \bruch{\partial{f(x,y)}}{\partial{x}} [/mm] $ Null gesetzt und nach x aufgelöst:
0 = [mm] 3y^{2} [/mm] -2x -8
x = [mm] \bruch{3}{2}y^{2} [/mm] -4
Dieses x nun in $ [mm] \bruch{\partial{f(x,y)}}{\partial{y}} [/mm] $ eingesetzt:
0 = [mm] 6(\bruch{3}{2}y^{2} [/mm] -4)y -12y
0 = [mm] y(y^{2} [/mm] -4)
Somit erhalte ich für y=-2; +2; 0
Diese y-Werte setze ich jeweils in x = [mm] \bruch{3}{2}y^{2} [/mm] -4 ein
und erhalte mögliche Extremwerte bei (2;-2), (2;2), (-4;0).
Das war soweit meine notwendige Bedingung?
Für die hinreichende Bedingung benötige ich die Hessche Matrix, für die ich wiederum folgende 2te Ableitungen benötige.
Ich hab mit der 2ten Ableitung meine Probleme. Kann mir jemand diese bitte bilden, damit ich sehe wie diese Aussehen sollen?:
$ [mm] \bruch{\partial{^{2}f}}{\partial{x}^{2}} [/mm] $
$ [mm] \bruch{\partial{^{2}f}}{\partial{y}^{2}} [/mm] $
$ [mm] \bruch{\partial{^{2}f}}{\partial{x}\partial{y}} [/mm] $
$ [mm] \bruch{\partial{^{2}f}}{\partial{y}\partial{x}} [/mm] $
Danke!
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Hallo, du hast die ersten Ableitungen:
nach x: [mm] 3y^{2}-2x-8
[/mm]
nach y: 6xy-12y
möchtest du alle 2. Ableitungen bilden, leitest du nach x ab, so ist y ein konstanter Faktor, leitest du nach y ab, so ist x ein konstanter Faktor
du hast also
-2
6y
6y
6x-12
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Do 26.01.2012 | | Autor: | tnaboc |
Danke ich denk ich weiß nun wie ich die 2te Ableitung hin bekomme. Nur noch einmal zum Verständnis:
$ [mm] \bruch{\partial{^{2}f}}{\partial{x}^{2}} [/mm] $ = -2
$ [mm] \bruch{\partial{^{2}f}}{\partial{y}^{2}} [/mm] $ = 6x - 12
$ [mm] \bruch{\partial{^{2}f}}{\partial{x}\partial{y}^{2}} [/mm] $ = 6y
$ [mm] \bruch{\partial{^{2}f}}{\partial{y}\partial{x}^{2}} [/mm] $ = 6y
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Do 26.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi Fred,
> > > Mein Ansatz ist nun [mm]\partial{x}[/mm] gleich Null zu setzen und
> > > nach x umzuleiten:
> >
> > das ist mal ein schönes Wort: Die "UMLEITUNG zu [mm]x\,[/mm]"
> > klingt auch viel schöner als dieses "nach [mm]x\,[/mm] auflösen"
>
> Da hast Du recht. Wann hält der Begriff "Lange Leitung"
> Einzug in die Mathematik ?
ich dachte, ich hätte ihn schon miteingebracht? Jedenfalls benutze ich auch des öfteren die "Lange Leitung" - ungewollterweise. Vielleicht definieren wir diesen Begriff mal explizit? Vorschläge? 
Gruß,
Marcel
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