Extremwerte mit Nebenbed. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:11 Di 06.11.2012 | | Autor: | ObiKenobi |
| Aufgabe | a) f(x,y)=x² g(x,y)=x²+y²-a²
Lösungen der Gleichungen:
wenn x = 0 , y= [mm] \pm [/mm] a
wenn y = 0 , x = [mm] \pm [/mm] a
[mm] \lambda [/mm] = -1
Q(x,y)= [mm] \bruch{df²}{dx²}*h²+\bruch{df²}{dx dy}*hk+\bruch{df²}{dy²}*k² [/mm]
[mm] \Rightarrow (2+2\lambda )*h²+2\lambda [/mm] *k² |
Hallo siehe die aufgabenstellung,
nun zu meinem eigentlichen problem.
Ich konnte die Grenzwen [mm] (x_1 [/mm] / [mm] y_1 [/mm] ) = [mm] \pm [/mm] a,0 und [mm] (x_2 [/mm] / [mm] y_2 [/mm] ) = 0, [mm] \pm [/mm] a bereits ermitteln.
Wenn ich nun noch den gradienten von g ausrechne,
also
grad(g)=(2x,2y) [mm] \Rightarrow [/mm] 2xh+2yk=0 [mm] \Rightarrow [/mm] h = [mm] \bruch{-y}{x}k
[/mm]
setze ich nun meine Grenzwerte ein erhalte ich h = 0
Setzte ich das in Q ein erhalte ich 2*(-1)k² [mm] \Rightarrow [/mm] immer negativ, also ein lok. maximum.
Wenn ich jetzt aber die anderen grenzwerte für das "neue" h einsetze erhalte ich ja dann h = [mm] \bruch{-\pm a}{0}k [/mm] ,das ist eine ungültige gleichung... ich könnte höchsten die gleichung auf k umstellen dann würde es wieder passen...
Oder ist das an der stelle der komplett falsche ansatz?
Würde mich über eure hilfe freuen,
Gruß,
Obi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Di 06.11.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hi,
> a) f(x,y)=x² g(x,y)=x²+y²-a²
Soll hier irgendwas eine Nebenbediungung darstellen?
>
> Lösungen der Gleichungen:
> wenn x = 0 , y= [mm]\pm[/mm] a
> wenn y = 0 , x = [mm]\pm[/mm] a
> [mm]\lambda[/mm] = -1
Woher kommt das [mm] \lambda? [/mm] Und von welchen Gleichungen redest du?
>
> Q(x,y)= [mm]\bruch{df²}{dx²}*h²+\bruch{df²}{dx dy}*hk+\bruch{df²}{dy²}*k²[/mm]
> [mm]\Rightarrow (2+2\lambda )*h²+2\lambda[/mm] *k²
> Hallo siehe die aufgabenstellung,
Welche Aufgabenstellung?
>
> nun zu meinem eigentlichen problem.
>
> Ich konnte die Grenzwen [mm](x_1[/mm] / [mm]y_1[/mm] ) = [mm]\pm[/mm] a,0 und [mm](x_2[/mm] /
> [mm]y_2[/mm] ) = 0, [mm]\pm[/mm] a bereits ermitteln.
>
> Wenn ich nun noch den gradienten von g ausrechne,
> also
> grad(g)=(2x,2y) [mm]\Rightarrow[/mm] 2xh+2yk=0 [mm]\Rightarrow[/mm] h =
> [mm]\bruch{-y}{x}k[/mm]
> setze ich nun meine Grenzwerte ein erhalte ich h = 0
> Setzte ich das in Q ein erhalte ich 2*(-1)k² [mm]\Rightarrow[/mm]
> immer negativ, also ein lok. maximum.
>
> Wenn ich jetzt aber die anderen grenzwerte für das "neue"
> h einsetze erhalte ich ja dann h = [mm]\bruch{-\pm a}{0}k[/mm] ,das
> ist eine ungültige gleichung... ich könnte höchsten die
> gleichung auf k umstellen dann würde es wieder passen...
>
> Oder ist das an der stelle der komplett falsche ansatz?
>
> Würde mich über eure hilfe freuen,
> Gruß,
> Obi
Bitte die Aufgabenstellung konkret wiedergeben!
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Oh verzeihung das is irgendwie beim abschreiben untergegangen, die aufgabe lautet korrekt:
Man untersuche die Funktion f(x,y) unter Berücksichtigung der Nebenbedingung g(x,y) = 0 auf Extremwerte.
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Hallo,
wir gehen mal ganz vorsichtig an die Sache heran.
1) Funktion aufstellen.
[mm] L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda{}g(x,y)
[/mm]
[mm] L(x,y,\lambda)=x^2+\lambda(x^2+y^2-a^2)
[/mm]
2) Wir berechnen [mm] \nabla{}L=0
[/mm]
[mm] \nabla{}L=0=(2x+2x\lambda,2y\lambda,x^2+y^2-a^2)
[/mm]
Inbesondere [mm] 0=2y\lambda [/mm] verrät einiges über die Möglichkeiten.
Das ist nun noch einmal dein Job. Schreibe noch einmal alle Lösungsmöglichkeitne auf.
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Hi, danke für die Fixe antwort, das hab ich ja schon gemacht.
Ich habe nach x einmal abgeleitet und nach y
Ich habe aus den Funktionen ein Gleichungssystem aufgestellt:
I [mm] \bruch{df}{dx}+\lambda*\bruch{dg}{dx}=2x+2\lambda*x=0
[/mm]
II [mm] \bruch{df}{dy}+\lambda*\bruch{dg}{dy}=2\lambda*y=0
[/mm]
II g(x,y)= [mm] x^{2}+y^{2}-a^{2}
[/mm]
Ich versuche das [mm] \lambda [/mm] wegzubekommen und erhalte nach I*y-II*x
2xy, daraus folgt, x = 0 [mm] \vee [/mm] y = 0
wenn x=0 folgt daraus [mm] y^{2}=a^{2} \Rightarrow y=\pm [/mm] a
wenn y=0 folgt daraus [mm] x^{2}=a^{2} \Rightarrow x=\pm [/mm] a
außerdem lässt sich folgern dass [mm] \lambda [/mm] = -1 ist
Ich habe in einer der ersten Vorlesung gelernt, dass sich bei Funktionen mehrerer Variablen anhand der Determinante der Hesse-Matrix ablesen lässt, wie sich die Funktion im Raum verhält und zwar folgendermaßen:
det(H(x,y)) [mm] \pmat{ a & b \\ b & c } =\begin{cases} Lok. Min, & \mbox{für det(H(x,y)) > 0 } \\ Lok. Max, & \mbox{für det(H(x,y)) < 0 } \end{cases}
[/mm]
Bei der obigen Funktion funktioniert das aber so in der form nicht. Weiterhin habe ich in der Vorlesung gelenrt das sich stattdessen auch die Quadratische (?), bin mir nicht sicher ob das stimmt, aufstellen lässt.
Wenn ich mich nicht irre war die Standardform:
[mm] \bruch{df^{2}}{dx^{2}}*h^{2}+\bruch{df^{2}}{dxdy}hk+\bruch{df^{2}}{dy^{2}}*k^{2}
[/mm]
Sowie [mm] \nabla{}g=(\bruch{dg}{dx},\bruch{dg}{dy}) \Rightarrow \bruch{dg}{dx}*h+\bruch{dg}{dy}*k=0
[/mm]
In meinem Fall wäre dass dann folgendermaßen:
Q(x,y)= $ [mm] \bruch{df²}{dx²}\cdot{}h²+\bruch{df²}{dx dy}\cdot{}hk+\bruch{df²}{dy²}\cdot{}k² [/mm] $ $ [mm] \Rightarrow (2+2\lambda )\cdot{}h²+2\lambda [/mm] $ *k²
[mm] \nabla{}g(x,y)=(\bruch{dg}{dx},\bruch{dg}{dy}) \Rightarrow [/mm] 2xh+2yk=0
Wobei :
h = $ [mm] \bruch{-y}{x}k [/mm] $
und
k = [mm] \bruch{x}{-y}*h
[/mm]
Wenn ich das dann in meine obige Quadratische Form einsetze müsste sich ablesen lassen wie ich h und k für werte die [mm] \pm [/mm] a verhalten.
So wäre für [mm] (\pm [/mm] a,0) h = [mm] \bruch{0}{\pm a}*k
[/mm]
[mm] \Rightarrow (2+2\lambda )\cdot{}h^{2}+2\lambda *k^{2} [/mm] mit h = 0 und [mm] \lambda [/mm] = -1
[mm] \Rightarrow 2*(-1)*k^{2} [/mm] diese funktion ist für alle k < 0 und daher ein lok. Max
das gegenteil gilt für
[mm] (2+2\lambda )\cdot{}h^{2}
[/mm]
Meine Frage nun, ist das richtig so, oder langt es wömöglich schon die ermittelten Werte einfach für h und k einzusetzen (also [mm] 0/\pm [/mm] a oder [mm] \pm [/mm] a/0)
Gruß,
Obi
Also, ähm um das ganze nochmal richtig zu fragen:
Ich kann die Extremwerte ermitteln, ich weiß nur nicht wie ich feststelle ob es scih um ein lokales maximum oder lokales minimum handelt! !!
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Guten Morgen,
ich weiß ehrlich gesagt nicht, warum du dir das mit der Hesse-Matrix antun möchtest...
Du hast 4 Punkte [mm] (x,y,\lambda), [/mm] die wie folgt aussehen:
[mm] \alpha=(0,a,0)
[/mm]
[mm] \beta=(0,-a,0)
[/mm]
[mm] \gamma=(a,0,-1)
[/mm]
[mm] \delta=(-a,0,-1)
[/mm]
Warum setzt du die nicht einfach schnell in f(x,y) ein und schaust, welche Minimum/Maximum sind?
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Wenn ich die werte in f(x,y) einsetze erhalte ich doch
für f(0,a) = 0
für (a,0) = a²
für (0,-a) = 0
und für (-a,0) = a²
oder meintest du in die Lagrange gleichung [mm] f(x,y,\lambda) [/mm] = [mm] x^{2}+\lambda*(x^{2}+y^{2}-a^{2})
[/mm]
Bin gerade sichtlich verwirrt. Aber mal abgesehn davon das die AUfgabe so trivial war das ich mir Hesse hätte sparen können, war die Herleitung wie ich sie mir gemacht hab trotzdem richtig?
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Um mich kurz selbst zu beantworten :
Um aus Hesse bzw. Lagrange die Extrema abzulesen muss folgendes gebildet werden:
H(x,y)= [mm] \pmat{ \bruch{df^{2}}{dx^{2}} & \bruch{df^{2}}{dxdy} \\ \bruch{df^{2}}{dxdy} & \bruch{df^{2}}{dy^{2}} }
[/mm]
Daraus wird die Quadratische form nach der Form :
Q = [mm] ah^{2}+2bhk+ck^{2}
[/mm]
Zusätzlich bei Funktionen mit Nebenbedingungen muss noch der Gradient der Nebenbedingung gebildet werden
[mm] \nabla [/mm] g(x,y)=xh+yk
Für x und y werden jeweil die ermittelten Extrempunkte eingesetzt. Für Lambda wird der ermittelte jeweilse Lambda werd in die Quadratische Form eingesetzt.
Danach gilt.
Wenn Q > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] lok. min.
Wenn Q < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] lok. max.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:06 Mi 07.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Muß man hier wirklich Herrn Lagrange bemühen ? Nein:
Wegen [mm] x^2 \le x^2+y^2=a^2 [/mm] ist
0 [mm] \le [/mm] f(x,y) [mm] \le a^2.
[/mm]
Ich denke man kann sehen, dass
f minimal wird für (x,y)=(0, [mm] \pm [/mm] a)
und dass
f maximal wird für [mm] (x,y)=(\pm [/mm] a,0)
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:12 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Richie1401 |
> Muß man hier wirklich Herrn Lagrange bemühen ? Nein:
Na na na, Herr Lagrange soll sich doch nicht umsonst Mühe gegeben haben.
Nieder mit der "Trivialität"!
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