Extremwerte von Funktion im R3 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Mi 02.07.2008 | | Autor: | tete |
| Aufgabe | Ermitteln Sie an welcher Stelle die Funktion
[mm] z(x,y)=x^3+3*x*y+y^3
[/mm]
Extrema besitzt. Skizzieren Sie diese Funktion! |
Also erstmal einen recht schönen guten Abend!
Ich habe schon etwas berechnet, bin aber der Meinung, das dies falsch ist, da ich ein Maximum in dieser Funktion vermute.
Ich bin wie folgt vorgegeangen:
Als erstes habe ich den Gradienten von z gebildet und diesen gleich Null gesetzt.
grad z = [mm] \pmat{ 3*x^2+3*y \\ 3*y^2+3*x } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 }
[/mm]
Aus der ersten Gleichung folgt:
[mm] y=-x^2
[/mm]
Nun setze ich y in die zweite Gleichung ein und erhalte:
[mm] 3*(-x^2)^2+3*x=0
[/mm]
[mm] 3*(-x^4)+3*x=0
[/mm]
[mm] 3*x*(-x^3+1)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=1
[/mm]
wenn ich nun diese Werte in y einsetze, erhalte ich meine kritischen Punkte, welche dann so aussehen:
(0,0) und (1,-1)
Nun bestimme ich die Hessematrix von z:
dafür erhalte ich:
[mm] H_z=\pmat{ 6*x & 3 \\ 3 & 6*y }
[/mm]
Wenn ich nun die kritischen Punkte einsetzte erhalte ich:
[mm] H_z [/mm] (0,0) = [mm] \pmat{ 0 & 3 \\ 3 & 0 }
[/mm]
[mm] H_z [/mm] (1,-1) = [mm] \pmat{ 6 & 3 \\ 3 & -6 }
[/mm]
Nun erhalte ich, dass die Determinanten der beiden Hessematritzen negativ sind und es sich somit nicht um Extremwerte handelt.
Ich vemute mir ist nur irgendwo ein Vorzeichenfehler unterlaufen bei dem zweiten kritischen Punkt, ich hoffe ihr könnt mir helfen!
Ich danke euch!
LG tete ![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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> Ermitteln Sie an welcher Stelle die Funktion
> [mm]z(x,y)=x^3+3*x*y+y^3[/mm]
> Extrema besitzt. Skizzieren Sie diese Funktion!
> Also erstmal einen recht schönen guten Abend!
>
> Ich habe schon etwas berechnet, bin aber der Meinung, das
> dies falsch ist, da ich ein Maximum in dieser Funktion
> vermute.
>
> Ich bin wie folgt vorgegeangen:
> Als erstes habe ich den Gradienten von z gebildet und
> diesen gleich Null gesetzt.
>
> grad z = [mm]\pmat{ 3*x^2+3*y \\ 3*y^2+3*x }[/mm] = [mm]\pmat{ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> Aus der ersten Gleichung folgt:
> [mm]y=-x^2[/mm]
>
> Nun setze ich y in die zweite Gleichung ein und erhalte:
> [mm]3*(-x^2)^2+3*x=0[/mm]
> [mm]3*(-x^4)+3*x=0[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
nett, dass du schon auf deine Anfälligkeit für Vorzeichenfehler
hingewiesen hast: hier ist jedenfalls einer!
> [mm]3*x*(-x^3+1)=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_1=0[/mm] und [mm]x_2=1[/mm]
> wenn ich nun diese Werte in y einsetze, erhalte ich meine
> kritischen Punkte, welche dann so aussehen:
> (0,0) und (1,-1)
>
> Nun bestimme ich die Hessematrix von z:
> dafür erhalte ich:
> [mm]H_z=\pmat{ 6*x & 3 \\ 3 & 6*y }[/mm]
> Wenn ich nun die
> kritischen Punkte einsetzte erhalte ich:
> [mm]H_z[/mm] (0,0) = [mm]\pmat{ 0 & 3 \\ 3 & 0 }[/mm]
> [mm]H_z[/mm] (1,-1) = [mm]\pmat{ 6 & 3 \\ 3 & -6 }[/mm]
>
> Nun erhalte ich, dass die Determinanten der beiden
> Hessematritzen negativ sind und es sich somit nicht um
> Extremwerte handelt.
> Ich vemute mir ist nur irgendwo ein Vorzeichenfehler
> unterlaufen bei dem zweiten kritischen Punkt, ich hoffe ihr
> könnt mir helfen!
>
> Ich danke euch!
>
> LG tete
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Mi 02.07.2008 | | Autor: | tete |
Vielen Dank!!!
Also schön, ich habe es gefunden:
also ist die Gleichung
[mm] 3*x^4+3*x=0
[/mm]
also
[mm] 3*x*(x^3+1)=0
[/mm]
also [mm] x_1=0 [/mm] bleibt und [mm] x_2= [/mm] - 1
demnach ist der zweite kritische Punkt (-1,-1)
also ist [mm] H_z [/mm] (-1,-1) = [mm] \pmat{ -6 & 3 \\ 3 & -6 }
[/mm]
-6<0 und det [mm] H_z [/mm] (-1,-1)>0 also negativ definit und demnach habe ich mein Maximum!
Ist das okay so?
LG tete
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> Ist das okay so?
hallo tete,
das scheint mir so richtig zu sein.
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