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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Di 02.03.2010 | | Autor: | saskia16 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Extremwerte von f. |
Hallo!
Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen. Ich möchte für die Funktion [mm] f(x)=e^x*e^{-2x}die [/mm] Extremwerte berechnen. Klar, man muss die Ableitung aufstellen: [mm] f'(x)=e^x-2*e^{-2*x}habe [/mm] ich raus. Wenn ich die Ableitung gleich 0 setze, komme ich einfach nicht auf das Ergebnis x =1/3*ln(2). Kann mir jemand erklären, wie man darauf kommt?
[mm] 0=e^x-2*e^{-2*x}
[/mm]
x=1/3*ln(2) (??????)
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo saskia16 und ganz herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Bestimmen Sie die Extremwerte von f.
> Hallo!
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> Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen. Ich möchte für
> die Funktion [mm]f(x)=e^x\red{*}e^{-2x}die[/mm] Extremwerte berechnen.
Es ist doch sicher [mm] $f(x)=e^x\red{+}e^{-2x}$ [/mm] gemeint ..
> Klar, man muss die Ableitung aufstellen:
> [mm]f'(x)=e^x-2*e^{-2*x}habe[/mm] ich raus. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Wenn ich die Ableitung
> gleich 0 setze, komme ich einfach nicht auf das Ergebnis x
> =1/3*ln(2). Kann mir jemand erklären, wie man darauf
> kommt?
>
> [mm]0=e^x-2*e^{-2*x}[/mm]
Klammere hier [mm] $e^x$ [/mm] aus:
[mm] $\ldots{}\gdw e^x\cdot{}\left(1-2\cdot{}e^{-3x}\right)=0$
[/mm]
Bedenke, dass [mm] $e^x\cdot{}e^{-3x}=e^{x+(-3x)}=e^{-2x}$
[/mm]
Nun ist ein Produkt genau dann =0, wenn (mindestes) einer der Faktoren =0 ist.
Hier also [mm] $e^x=0 [/mm] \ \ [mm] \text{oder} [/mm] \ \ [mm] 1-2\cdot{}e^{-3x}=0$
[/mm]
[mm] $e^x$ [/mm] ist immer >0, also bleibt nur [mm] $1-2\cdot{}e^{-3x}=0$
[/mm]
Kannst du das nach $x$ auflösen?
Um auf die angegebene Lösung zu kommen, beachte das Logarithmusgesetz:
[mm] $\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$, [/mm] also insbesondere
[mm] $\ln\left(\frac{1}{b}\right)=\ln(1)-\ln(b)=0-\ln(b)=-\ln(b)$
[/mm]
> x=1/3*ln(2) (??????)
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> Danke!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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>
Gruß
schachuzipus
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