Extremwerte von e Funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | z=e^-(x-3)²-(y+4)²
Welche Art von Extremwerten ? |
Hallo,
ich bin neu im Forum und hoffe, ich habe meinen Beitrag im richtigen Forum gesetzt.
Meine Frage:
Ich habe z´(x)=-2(x-3)*1-2(y+4)*0 *e^-(x-3)²-(y+4)²
--> somit wäre für z^(x) = 3
das gleiche für y wäre dann bei mir -4
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ist das korrekt?
|
|
| |
|
Hallo destroy6776, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> z=e^-(x-3)²-(y+4)²
> Welche Art von Extremwerten ?
Na, das ist ja mal eine knappe Aufgabenformulierung.
Nur ist die Funktionsdefinition nicht verständlich.
Verwende doch bitte den Formeleditor. Er öffnet sich, wenn Du über dem Eingabefenster auf das rote [mm] \red{\Sigma} [/mm] klickst.
Bitte verwende auch nicht die ASCII-Hochzahlen ² und ³ etc. Sie werden vom Formeleditor nicht dargestellt, sondern nur im Klartext. [mm] a^2 [/mm] schreibt man a^2, und wenn der Exponent mehr als ein Zeichen hat, braucht man geschweifte Klammern: e^{-(x-3)^2} ergibt [mm] e^{-(x-3)^2}.
[/mm]
> Hallo,
> ich bin neu im Forum und hoffe, ich habe meinen Beitrag im
> richtigen Forum gesetzt.
Das sieht ganz so aus. Danke, dass Du Dich mit dem Forenbaum auseinandergesetzt hast!
> Meine Frage:
> Ich habe z´(x)=-2(x-3)*1-2(y+4)*0 *e^-(x-3)²-(y+4)²
> --> somit wäre für z^(x) = 3
Das verstehe ich nicht, vor allem aber, weil ich die Formeln nicht sinnvoll deuten kann.
> das gleiche für y wäre dann bei mir -4
Und das verstehe ich sprachlich nicht
> ist das korrekt?
Keine Ahnung, aber ich bin gern bereit, das herauszufinden. Schreib Deine Funktionsdefinition (und die Ableitung) also mal mit Formeleditor, oder wenigstens mit allen nötigen Klammern.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Danke für deine schnelle Antwort.
Ich versuche es einfach nochmal .
Also die exakte Formulierung aus dem Buch abgeschrieben lautet:
Bitte bestimmen Sie, welche Art von Extremwerten die folgende Funktion aufweist.
Damit sind meiner Meinung nach Hoch- und Tiefpunkte gemeint.
Die exakte Funktion laut Buch sieht so aus
[mm] z=e^\{-(x-3)^2-(y+4)^2\}
[/mm]
mit dem Formeleditor komm ich glaub ich noch nicht ganz zurecht.
Nun muss ich die erste Ableitung dieser Funktion machen. Da es sich bei dieser Funktion um eine mit zwei Variablen handelt, sprich x und y
muss ich die erste Ableitung einmal nach x als variable ansetzen, wobei danny als normale "Zahl" gilt und
dann nochmal dass y meine variable ist und x als "Zahl" betrachtet werden kann.
Wenn ich nun die Ableitung nach x durchführe entsteht bei mir die folgende Gleichung
z´(x)= [mm] -2(x-3)*1-2(y+4)+0*e^\{-(x-3)^2-(y+4)^2\}
[/mm]
Meine Vorgehensweiße:
-2(x-3)*1 entsteht dadurch, dass ich [mm] -(x-3)^2, [/mm] welches in der Potenz von e steht, nach der Potenzregel abgeleitet und nachdifferenziert habe.
das gleiche auch bei
[mm] -(y+4)^2
[/mm]
also kommt bei gleicher Regelanwendung nun
-2(y+4)*0 da dieser Term kein x enthält und somit durch das Ableiten wegfällt.
wenn ich nun meine Ableitung ( z´(x)= [mm] -2(x-3)*1-2(y+4)+0*e^\{-(x-3)^2-(y+4)^2\} [/mm] ) nun Null setze, und entsprechend vereinfache
und dann nach x auflöse, die Zahl x=3 heraus
Besser kann ich leider meine Frage nicht formulieren
Ich hoffe du kannst mir helfen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:30 Fr 21.10.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Danke für deine schnelle Antwort.
> Ich versuche es einfach nochmal .
> Also die exakte Formulierung aus dem Buch abgeschrieben
> lautet:
> Bitte bestimmen Sie, welche Art von Extremwerten die
> folgende Funktion aufweist.
> Damit sind meiner Meinung nach Hoch- und Tiefpunkte
> gemeint.
> Die exakte Funktion laut Buch sieht so aus
>
> [mm]z=e^\{-(x-3)^2-(y+4)^2\}[/mm]
>
> mit dem Formeleditor komm ich glaub ich noch nicht ganz
> zurecht.
okay, du meinst also: [mm]z=e^{-(x-3)^2-(y+4)^2}[/mm]
>
> Nun muss ich die erste Ableitung dieser Funktion machen. Da
> es sich bei dieser Funktion um eine mit zwei Variablen
> handelt, sprich x und y
> muss ich die erste Ableitung einmal nach x als variable
> ansetzen, wobei dann y als normale "Zahl" gilt
ja.
> und dann nochmal dass y meine variable ist und x als "Zahl"
> betrachtet werden kann.
ja.
> Wenn ich nun die Ableitung nach x durchführe entsteht bei
> mir die folgende Gleichung
>
> z´(x)= [mm]-2(x-3)*1-2(y+4)+0*e^\{-(x-3)^2-(y+4)^2\}[/mm]
du meinst sicher etwas anderes! Du wolltest bestimmt nicht [mm]0*e^{...}[/mm] schreiben... Und Klammern hast du auch vergessen!?
> Meine Vorgehensweiße:
> -2(x-3)*1 entsteht dadurch, dass ich [mm]-(x-3)^2,[/mm] welches in
Das ist korrekt
> das gleiche auch bei
> [mm]-(y+4)^2[/mm]
> also kommt bei gleicher Regelanwendung nun
> -2(y+4)*0 da dieser Term kein x enthält und somit durch
> das Ableiten wegfällt.
Da dieser Term kein x enthält, kannst du ihn wie eine Konstante c behandeln. Die Ableitung ist dann 0. Man schreibt nicht -2(y+4)*0, sondern einfach nur 0.
Dann ist
[mm]z'(x)=(-2(x-3)*1-0)*e^{-(x-3)^2-(y+4)^2}=(-2(x-3)*1)*e^{-(x-3)^2-(y+4)^2}[/mm]
In deiner Lösung bist du mit + und * ein wenig durcheinander gekommen und hast vergessen Klammern zu setzen.
>
> wenn ich nun meine Ableitung ( z´(x)=
> [mm]-2(x-3)*1-2(y+4)+0*e^\{-(x-3)^2-(y+4)^2\}[/mm] ) nun Null setze,
> und entsprechend vereinfache
> und dann nach x auflöse, die Zahl x=3 heraus
Du scheinst doch das richtige gemeint zu haben, auch, wenn das deiner Lösung hier nicht wirklich zu entnehmen ist.
Denn du hast x bestimmt, sodass z'(x)=0. Es ist in der Tat z'(3)=0.
>
> Besser kann ich leider meine Frage nicht formulieren
> Ich hoffe du kannst mir helfen
Gruß
barsch
|
|
|
| |
|
Und wie muss ich weiter machen um die extremstellen zu bekommen?
Die zweite Ableitung muss ich in Abhängigkeit von x und einmal von y machen
Bzw
Die Bedingung für extrempunkte
Ist ja [mm] z"(xx)*z"(yy)-(z"(xy))^2
[/mm]
oder ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Fr 21.10.2011 | | Autor: | barsch |
Du hast doch eine Funktion z(x,y).
Jetzt musst du zuerst den Gradienten bestimmen: [mm]grad \; (z(x,y)) \; = \; (\bruch{\partial \; z}{\partial \; x},\bruch{\partial \; z}{\partial \; y})^T[/mm].
[mm] $\bruch{\partial \; z}{\partial \; x}$ [/mm] hast du ja bereits berechnet. Fehlt noch [mm] $\bruch{\partial \; z}{\partial \; y}$.
[/mm]
Extrema erhälst du, indem du (x,y) so bestimmst, dass [mm]grad \; (z(x,y)) \; = \; 0[/mm].
Um welche Art von Extrempunkt(en) es sich handelt, kannst du dann mit Hilfe der ![[]](/images/popup.gif) Hessematrix bestimmen.
Gruß
barsch
|
|
|
|
