Extremwertfindung bei ln-Fkt. < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 So 26.02.2006 | | Autor: | MxM |
| Aufgabe | | Kurvendiskussion der Funktion [mm] f(x)= \bruch { \ln(x)}{ \wurzel {x}} [/mm] |
Mich beschäftigt im Moment folgendes Problem im Rahmen der Vorbereitung auf das Abitur: Ich kann auf dem rechnerischen Weg weder Extremstellen noch Wendepunkte der o.g. Funktion finden.
Meine derzeitige Rechnung sieht so aus:
[mm] f'(x)= \bruch{ \bruch{1}{ \wurzel{x}} + \bruch{ \ln(x)}{2 \wurzel{x^3}}}{x} [/mm]
Habe das Ganze =0 gesetzt und mit x multipliziert um dann weiter nach x aufzulösen:
[mm] 0= \bruch{1}{ \wurzel {x}} + \bruch{ \ln(x)}{2 \wurzel {x^3}} = \bruch{2x + \ln(x)}{2 \wurzel {x^3}}[/mm]
und wieder durch [mm] 2 \wurzel {x^3} [/mm] dividiert:
[mm] 0= 2x + \ln(x) [/mm]
Und da steh ich nun und weiß nicht weiter, denn es muss genau ein Extremum geben. Wie löse ich sowas auf? Für mich sieht das so nach Zwickmühle aus. Muss man da vielleicht ganz anders herangehen?
Das Kurvendiskussionsprogramm von Thomas Köhler gibt mir ein Maximum bei [mm] e^2 [/mm] an.
Im Prinzip habe ich das selbe Problem auch noch bei der Wendestelle, aber vielleicht kriege ich das dann selber hin wenn ihr mich hier auf den richtigen Weg gelotst habt ;)
Grüße
MxM
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 So 26.02.2006 | | Autor: | MxM |
Hoppala, vielen Dank
Wie sich der Vorzeichenfehler da in meine Rechnung eingeschlichen hat ist mir zwar noch schleierhaft, die falsche Ableitung kam aber wohl daher, dass ich 1/sqrt(x) abgeleitet habe und nicht sqrt(x), warum ich sowas gemacht habe is mir ebenfalls unbekannt, aber da half irgendwie auch mehrmaliges nachrechnen nich :ups:
Vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Mo 27.02.2006 | | Autor: | MxM |
| Aufgabe | | Wendestellen der Funktion [mm] f(x)= \bruch{ \ln(x)}{ \wurzel {x}} [/mm] |
Moin
Nachdem ich die 1. Ableitung und die Extremstelle mir eurer Hilfe erfolgreich gefunden habe, mache ich bei der Berechnung der Wendestelle schon wieder einen Fehler der sich mit äußerster Hartnäckigkeit vor mir versteckt.
Als erste Ableitung habe ich berechnet
[mm] f'(x)= \bruch{2- \ln(x)}{2 \wurzel{x^3}} [/mm]
Was auch korrekt sein müsste, da ich damit auch das richtige Maximum finde.
Bei Ableitung #2 aber erhalte ich nicht die richtige Wendestelle (müsste bei x=e^(8/3)=14,3... sein) sondern eine bei x=e^(10/3)=28,0.. .
Ich vermute der Fehler liegt bei der Erstellung der 2. Ableitung, nicht bei deren Auflösung nach x, denn lasse ich meine 2. Ableitung vom PC auf Nullstellen untersuchen kommen der falsche Wert von 28,... heraus. Kann aber natürlich auch sein, dass ein ganz anderes Problem vorliegt
Hier meine 2. Ableitung:
[mm] f''(x)= \bruch{ - \bruch {2 \wurzel {x^3}}{x} - \bruch{ 3 \wurzel {x} (2- \ln(x))}{2}}{4x^3} = \bruch{ \bruch {-4 \wurzel {x^3} - 3 \wurzel {x^3} (2- \ln(x))}{2x}}{4x^3} [/mm]
Aufgelöst nach f''(x)=0 ergibt das bei mir dann e^(10/3):
[mm] 0= \bruch{ \bruch {-4 \wurzel {x^3} - 3 \wurzel {x^3} (2- \ln(x))}{2x}}{4x^3}
=- 4 \wurzel {x^3} - 3 \wurzel {x^3} (2- \ln(x)) = \wurzel {x^3} (-4-3(2- \ln(x)))
= - 4 - 6 + 3 \ln(x) [/mm]
[mm] ln(x) = \bruch{10}{3} [/mm]
[mm] x = e^ \bruch{10}{3} [/mm]
Wenn sich jetzt einer meiner erbarmen würde und mir mein Brett vom Kopf zu entfernen würde wäre ich sehr dankbar ;)
Grüße
MxM
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du hast bei deiner ableitung einfach eine 2 unterschlagen, die sich gekürzt hätte.. und zwar muß beim zweiten teil des zählers die ableitung von [mm] 2*wurzel{x^3} [/mm] genommen werden und das ist nicht 3 mal die neue wurzel, sondern 6 mal...
Aber kleiner Tip, wie man sowas schneller ableitet:
Du startest ja bei deinem Term und den kann man in zwei Terme zerlegen, und zwar:
[mm] \bruch{2-ln x}{2 \wurzel{x^3}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{ \wurzel{x^3}} [/mm] - [mm] \bruch{ln x}{2 \wurzel{x^3}}
[/mm]
und dann leitest du den ersten Term ab (dafür brauchst du nicht mal die Quotientenregel!) und den zweiten Term,...
hier kommt das glaub etwa aufs gleiche raus.. aber sehr oft kann es sein, daß es wesentlich einfacher wird.. das geht allerdings nur, wenn du genau einen summanden im nenner stehen hast..
als ergebnis der ableitung habe ich übrigens (völlig vereinfacht):
[mm] \bruch{3 ln x - 8}{4 \wurzel{x^5}} [/mm] (Bei dir könnte man im Zähler die Terme mit [mm] \wurzel{x^3} [/mm] zusammenfassen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Mo 27.02.2006 | | Autor: | MxM |
Hallo
Danke erst mal für die Hilfe. Komme jetzt auch auf das richtige Ergebnis.
Eine kleine Frage bleibt aber noch:
>> aber sehr oft kann es sein, daß es wesentlich einfacher wird.. das geht allerdings nur, wenn du genau einen summanden im nenner stehen hast.. <<
Was meinst jetzt damit genau? Welchen Summanden in welchem Nenner meinst du? Ich finde in der 1. Ableitung im Nenner nur da steht doch nur 2 [mm] \wurzel {x^3} [/mm] . Oder meinst du den Zähler?
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ich meinte damit folgendes... einen bruch der art
[mm] \bruch{a+b+c+...}{n} [/mm] kannst du auch umschreiben in [mm] \bruch{a}{n} [/mm] + [mm] \bruch{b}{n} [/mm] + ...
aber wenn der bruch echt gebrochen ist, also in der form [mm] \bruch{irgendwas}{a+b} [/mm] dann geht das nicht mehr mitm umschreiben.. da mußt du dann die quotientenregel benutzen..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 Mo 27.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo MxM!
Auch mit der  Quotientenregel kommt man natürlich zum Ziel ...
... aber Du hast im Zähler aber beim zweiten Term den Faktor $2_$ unterschlagen, da ja gilt: $v \ = \ [mm] \red{2}*\wurzel{x^3}$ [/mm] :
[mm]f''(x) \ = \ \bruch{ - \bruch {2 \wurzel {x^3}}{x} - \red{2}*\bruch{ 3 \wurzel {x} [2- \ln(x)]}{2}}{4x^3}[/mm]
Zudem solltest Du dann auch gleich zusammenfassen: [mm] $\bruch{\wurzel{x^3}}{x} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{x}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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