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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Mi 14.06.2006 | | Autor: | felixppp |
| Aufgabe | | Gegeben ist ein Röhre mit einem halbkreisförmigen Querschnitt. Die Länge der Röhre beträgt 12m, der Radius 8m. Bestimme die Werte einer Röhre mit rechteckigem Querschnitt mit maximalem Flächeninhalt, die in die halbkreisförmige Röhre gebaut werden soll! |
Also ich hoffe, mir kann da jemand helfen. Das Problem ist, dass ich immer 2 Variable habe...
ALso 1: Extremalbedigung A(rechteck)=a*b=(r-2x)*([r/2]-y) Bringt der zweite Schritt üerbahupt was???
2: Nebenbedingung: A (Röhrenquerschnitt)=pi*r²/2
Jetzt meine Frage: wie komme ich jetzt zu einer Extremalbedingung mit nur einer Variablen? Fehlt mir noch eine Nebenbedingung?
Ich hoffe, mir kann einer helfen. DANke schonmal Felix
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 Mi 14.06.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin felix,
in den halbkreis soll ein rechteck einbeschrieben werden. A=a*b.
a= d/2 - y = r - y
b= d - 2x = 2*(r-x)
Wenn ich nun aus den seiten a und b/2 mithilfe von r ein dreieck bilde, erhalte ich zusätzlich die formel:
[mm] (r-x)^2 [/mm] + [mm] (r-y)^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm] [pythagoras]
[mm] (r-y)^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm] - [mm] r^2 [/mm] +2rx [mm] -x^2
[/mm]
[mm] (r-y)^2 [/mm] = [mm] 2rx-x^2 [/mm]
r-y = [mm] \wurzel(2rx-x^2)
[/mm]
y= r - [mm] \wurzel(2rx -x^2)
[/mm]
in Zielfunktion einsetzen:
A= (r-y) * 2*(r-x)
A= [mm] \wurzel{2rx - x^2}*2*(r-x)
[/mm]
A= [mm] \wurzel{16x - x^2}*(16-2x)
[/mm]
diese funktion ist dann zu maximieren.
hoffe, das hilft weiter.
gruss
wolfgang
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