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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Fr 01.09.2006 | | Autor: | Mathe_88 |
| Aufgabe | | Eine 400-m-Laufbahn in einem Stadion besteht aus zwei parallelen Strecken und zwei angesetzten Halbkreisen. Für welchen Radius x der Halbkreise wird die rechteckige Spielfläche maximal? Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit den realen Maßen eines Spielfeldes. |
HI
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also mein Problem ist der Ansatz. Ich hab keine Ahnung wie ich beginnen soll.
Also mein Ziel ist auf jeden fall der Flächeninhalt von dem rechteck a*b und den 2Halbkreisen,oda?
Brauch echt Hilfe^^...danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Fr 01.09.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Anne und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Eine 400-m-Laufbahn in einem Stadion besteht aus zwei
> parallelen Strecken und zwei angesetzten Halbkreisen. Für
> welchen Radius x der Halbkreise wird die rechteckige
> Spielfläche maximal? Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit den
> realen Maßen eines Spielfeldes.
> Also mein Problem ist der Ansatz. Ich hab keine Ahnung wie
> ich beginnen soll.
> Also mein Ziel ist auf jeden fall der Flächeninhalt von
> dem rechteck a*b und den 2Halbkreisen,oda?
Wenn der Radius des Halbkreises x ist, dann ist diese Seite des Rechtecks (das ist in einem Stadion die Torauslinie) 2x lang. Und die Seite an der 100-m-Bahn soll y sein.
Dann kriegst du aus der Länge der 400-m-Bahn eine Gleichung mit x und y.
Die löst du nach y auf und setzt das für y in die Gleichung für die Fläche des Rechtecks ein. Du erhältst eine Formel für die Fläche, in der nur noch x als Unbekannte vorkommt. Und jetzt suchst du mit den üblichen Rezepten das Maximum.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Mo 04.09.2006 | | Autor: | Mathe_88 |
Danke für deine Antort, jedoch habe ich noch Probleme mit der Aufstellung der Gleichung. Ist der Kreisbogen irgendwie relevant, der verwirrt mich nämlich noch einwenig, ich weiß nämlich nicht genau, was in die Gleichung rein muss.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Mo 04.09.2006 | | Autor: | Mato |
Hallo!
>Ist der Kreisbogen irgendwie
> relevant, der verwirrt mich nämlich noch einwenig, ich weiß
> nämlich nicht genau, was in die Gleichung rein muss.
Der Kreisbogen selbst ist ja der Halbkreis und genau das macht die Rechnung einfacher. Ich versuche es dir noch genauer zu erklären als der Helfer vor mir, obwohl er eigentlich das Wichstigste schon gesagt.
Ok, man kennt ja den Umfang U=400 m, also die Laufbahn. Nun besteht die Laufbahn aus zwei Halbkreisen(2*Halbkreis=Vollkreis  ) und zwei Parallen Strecken. Die Formel für den Umfang eines Kreises lautet ja: U=2*pi*r, und r ist in unserem Fall x, und die paralellen Strecken sind gleich lang, meinetwegen a genannt, d.h. der Umfang der Laufbahn kann so ausgedrückt werden: U=400=2*pi*x+2*a
Nun ist der Flächeninhalt des Rechtecks: A=2*x*a, denn 2*x ist die eine Seite lang und die andere eben 1*a lang. Jetzt musst du nur noch U nach x auflösen und dies in A einsetzen, damit hättest du dann die Funktion A(x), die du ableiten könntest bzw. mit der du das Maximum finden könntest.
Viel Spaß dabei!
PS: Der Flächeninhalt ist dann für x= 100/pi am größten.
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