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| Aufgabe | | Ein nach oben offenes Rechteck beschreibt einen Kanal. Die Wandstärke dieses Kanals beträgt zu allen Seiten hin 12 cm (Beton). Die Wasser durchlaufende Fläche beträgt 3m². Wie müssen die Maße des Kanals gewählt werden, um den Betonverbrauch zu minimieren? |
Hallo,
Das ganze sieht dann also so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
mit a = 12 cm und der schraffierten Fläche A = 3m².
Die Zielfunktion ist also
$A=b*c$
Doch jetzt komme ich irgendwie nicht weiter!
Bitte um Hilfe/Denk-Anstöße!
Vielen Dank,
Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Stefan!
> Ein nach oben offenes Rechteck beschreibt einen Kanal. Die
> Wandstärke dieses Kanals beträgt zu allen Seiten hin 12 cm
> (Beton). Die Wasser durchlaufende Fläche beträgt 3m². Wie
> müssen die Maße des Kanals gewählt werden, um den
> Betonverbrauch zu minimieren?
> Hallo,
>
> Das ganze sieht dann also so aus:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
> mit a = 12 cm und der schraffierten Fläche A = 3m².
>
> Die Zielfunktion ist also
>
> [mm]A=b*c[/mm]
Nö, das ist diesmal die Nebenbedingung , denn sie beschränkt die Abmaße von b und c.
Die Nebenbedingung lautet deshalb [mm] 3m^{2}=b*c
[/mm]
>
> Doch jetzt komme ich irgendwie nicht weiter!
>
> Bitte um Hilfe/Denk-Anstöße!
>
> Vielen Dank,
>
> Stefan.
Nun, da du die Nebenbedingung nun schon kennst (sieh oben) fehlt dir nur noch die Hauptbedingung aus der sich dann mit der Nebenbedingung zusammen die Zielfunktion herleitet.
In dieser aufgabe hier gilt es, den Betonverbrauch zu minimieren. Der Verbrauch wird minimiert, wenn die Abmaße des Kanals ihr Minimum erreichen, wenn folglich also der Umfang minimal ist. Da das Rechteck nach oben hin offen ist ergibt sich somit die Hauptbedingung zu:
u=2b+c [mm] \Rightarrow [/mm] Min!
Kommst du damit jetzt weiter?
Gruß,
Tommy
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Jetzt kann ich ja die Nebenbedingung nach c auflösen und erhalte:
[mm] \bruch{3m^2}{b}=c
[/mm]
um es dann in die Zielfunktion einzusetzen.
[mm] U(b)=2b+\bruch{3m^2}{b}=3m^2b^{-1}+2b \Rightarrow U'(b)=-3m^2b^{-2}+2 \Rightarrow U''(b)=6m^2b^{-3}
[/mm]
Extrema berechnen.
Notwendige Bedingung:
[mm] U'(b_{0})=0.
[/mm]
$U'(b)=0 [mm] \gdw -3m^2b^{-2}+2=0 \gdw -\bruch{3m^2}{b}=-2 \gdw -3m^2=-2b \gdw \bruch{3m^2}{2}=b$
[/mm]
Hinreichende Bedingung:
[mm] U'(b_{0})=0 \wedge U''(b_{0})\not=0.
[/mm]
[mm] U''(\bruch{3m^2}{2})=6m^2*\bruch{1}{(\bruch{3m^2}{2})^3}>0
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
Minimum.
[mm] \Rightarrow c=\bruch{3m^2}{\bruch{3m^2}{2}}=2
[/mm]
Aber wie kann denn b jetzt mit Quadratmetern sein?
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Frage wäre dann, ob ich das denn jetzt so richtig gemacht habe? :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 Di 12.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
Um den Betonverbrauch zu minimieren, musst Du die Querschnittsfläche des Betonkanals minimieren:
$A \ = \ a*b+ (a+c+a)*a+a*b \ = \ 2*a*b+(c+2*a)*a \ = \ 2*0.12*b+(c+2*0.12)*0.12 \ = \ 0.24*b+0.12*c+0.0288$
Hier nun die Nebenbedingung $c \ = \ [mm] \bruch{3}{b}$ [/mm] einsetzen ...
Gruß
Loddar
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Hallo Stefan!
> Jetzt kann ich ja die Nebenbedingung nach c auflösen und
> erhalte:
>
> [mm]\bruch{3m^2}{b}=c[/mm]
>
> um es dann in die Zielfunktion einzusetzen.
>
> [mm]U(b)=2b+\bruch{3m^2}{b}=3m^2b^{-1}+2b \Rightarrow U'(b)=-3m^2b^{-2}+2 \Rightarrow U''(b)=6m^2b^{-3}[/mm]
>
> Extrema berechnen.
>
> Notwendige Bedingung:
>
> [mm]U'(b_{0})=0.[/mm]
>
> [mm]U'(b)=0 \gdw -3m^2\red{b^{-2}}+2=0 \gdw -\bruch{3m^2}{\red{b}}=-2 \gdw -3m^2=-2b \gdw \bruch{3m^2}{2}=b[/mm]
Bei [mm] \red{rot} [/mm] hast du einen Fehler bei der Umformung gemacht.
>
> Hinreichende Bedingung:
>
> [mm]U'(b_{0})=0 \wedge U''(b_{0})\not=0.[/mm]
>
> [mm]U''(\bruch{3m^2}{2})=6m^2*\bruch{1}{(\bruch{3m^2}{2})^3}>0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> Minimum.
>
> [mm]\Rightarrow c=\bruch{3m^2}{\bruch{3m^2}{2}}=2[/mm]
>
> Aber wie kann denn b jetzt mit Quadratmetern sein?
Du müsstest auf [mm] b^{2}=\bruch{3}{2}m^{2} [/mm] kommen (kommst du aber nicht wegen o.g. Umformungsfehler).
Gruß,
Tommy
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 Di 12.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tommy!
Mit dem Betonverbrauch ist nach meinem Verständnis das Volumen des Kanals zu verstehen. Projeziert auf ein ebenes Problem (mit konstanter Kanallänge $L_$ ) bedeutet das also: die Querschnittsfläche des Kanals beschreibt die Hauptbedingung.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:43 Di 12.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
Ich bin der Ansicht, dass der Umfang minimiert werden soll. es soll ja eine gewisse vorgegebene Menge Wasser durchfliessen, und die Kanalwände gegossen wereden.
Also gilt: U = 2b + c (c nur einfach, weil der Kanal ja oben offen sein soll.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:49 Di 12.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marius!
Der Betonverbrauch gibt aber an, welche Betonmenge ich benötige, um diesen Kanal herzustellen. D.h. also wieviel m³ (je Meter Kanallänge) Beton benötige ich, den ich in die Schalung schütten muss, um diesen Kanal herzustellen.
Es ist ja nicht nach einer Anstrichfläche oder Schalungsfläche gefragt.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 Di 12.09.2006 | | Autor: | VNV_Tommy |
Hallo Loddar!
> Hallo Tommy!
>
>
> Mit dem Betonverbrauch ist nach meinem Verständnis das
> Volumen des Kanals zu verstehen. Projeziert auf ein ebenes
> Problem (mit konstanter Kanallänge [mm]L_[/mm] ) bedeutet das also:
> die Querschnittsfläche des Kanals beschreibt die
> Hauptbedingung.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Es ist durchaus richtig was du sagt, doch die Minimierung der Querschnittsfläche läuft in diesem Fall hier parallel zum Ziel der Minimierung des Umfangs, da der Kanalan jeder Stelle die selbe Wandstärke haben soll. Es ist also nicht nötig, die Querschnittsbetrachtung der Betonmauer durchzuführen. Wenn die Mauer allerdings nicht überall gleich dick ist (was in diesem Beispiel hier jedoch anzunehmen war),dann ist deine Betrachtungsweise richtig.
Ich hab beide Wege, also deinen und meinen, durchgerechnet und bin zum Ergebnis gekommen, daß bei beiden für [mm] b=\wurzel{\bruch{3}{2}} [/mm] als Lösung ermittelt wird. Du siehst also: es macht hier keinen Unterschied ob man sich die Minimierung des Umfangs oder die Minimierung der Querschnittsfläche der Kanalwände zur Haauptbedingung setzt.
Wie sagt man so schön: Viele Wege führen nach Rom!
Ich bin der Meinung, daß man Alternativen ruhig mal in die Betrachtung einbeziehen kann. 
Gruß,
Tommy
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O.K., dann ist
[mm] b=\wurzel{\bruch{3}{2}}m \Rightarrow c=\bruch{3m^2}{\wurzel{\bruch{3}{2}}m}=\bruch{3m}{\wurzel{\bruch{3}{2}}}=\bruch{3\wurzel{2}}{\wurzel{3}}m
[/mm]
Vielen Dank für all eure Mühe!
mathematische Grüße,
Stefan.
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