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| Aufgabe | | Ein oben offener Kanal mit trapezförmigen Querschnitt von 60 [mm] m^2 [/mm] hat einen Böschungswinkel von 30°. Wie groß muss die Kanaltiefe gewählt werden, damit die Reibung möglichst gering ist, der benetzte Umfang also möglichst klein ist? |
dies ist die originalaufgabe, eine skizze gibt es nicht. kann man die aufgabe so überhaupt lösen? hier mein ansatz:
b sei der boden des kanals, c die seitenwände und h die höhe. dabei habe ich angenommen, dass die seitenwände gleichschenklig sind. das dem böschungswinkel angedachte stück habe ich x genannt.
es gilt doch: [mm] \sin 30°=\left( \bruch{h}{c} \right) [/mm] und [mm] \cos 30°=\left( \bruch{x}{c} \right).
[/mm]
desweiteren dachte ich, dass sich die querschnittsfläche von [mm] A=60m^2 [/mm] berechnet als [mm] A=b*h+2*\left( \bruch{1}{2} \right)*x*h.
[/mm]
geendet bin ich dann leider schon bei: [mm] 60=b*\sin30°*c+\cos30°*c*\sin30°*c. [/mm]
das ergebnis soll sein: h=5,14 und [mm] U_{Min}=23,33. [/mm] b=c hatte ich auch schon mal angenommen und verworfen, hatte ich mich evtl. verrechnet? wer kann helfen? vielen dank vorab!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo p101288896, ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Das sieht doch soweit gut aus. Nur hast Du bisher erst die Hälfte der Rechnung...
> Ein oben offener Kanal mit trapezförmigen Querschnitt von
> 60 [mm]m^2[/mm] hat einen Böschungswinkel von 30°. Wie groß muss die
> Kanaltiefe gewählt werden, damit die Reibung möglichst
> gering ist, der benetzte Umfang also möglichst klein ist?
> dies ist die originalaufgabe, eine skizze gibt es nicht.
> kann man die aufgabe so überhaupt lösen?
Ja, man kann.
Gesucht ist die Kanaltiefe, eine Einschränkung ergibt sich durch die Minimierung des benetzten Umfangs.
> hier mein ansatz:
> b sei der boden des kanals, c die seitenwände und h die
> höhe. dabei habe ich angenommen, dass die seitenwände
> gleichschenklig sind. das dem böschungswinkel angedachte
> stück habe ich x genannt.
ok. h ist in dieser Fassung dann auch die gesuchte Kanaltiefe.
> es gilt doch: [mm]\sin 30°=\left( \bruch{h}{c} \right)[/mm] und [mm]\cos 30°=\left( \bruch{x}{c} \right).[/mm]
>
> desweiteren dachte ich, dass sich die querschnittsfläche
> von [mm]A=60m^2[/mm] berechnet als [mm]A=b*h+2*\left( \bruch{1}{2} \right)*x*h.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> geendet bin ich dann leider schon bei:
> [mm]60=b*\sin30°*c+\cos30°*c*\sin30°*c.[/mm]
Bis hier richtig.
Jetzt fehlen Dir aber noch einige Schritte bis zur Lösung.
Der benetzte Umfang ist ja U=b+2c und soll möglichst klein werden.
Wenn Du Deine Gleichung oben nach b auflöst und in die U-Gleichung einsetzt, dann erhältst Du eine Funktion U(c), deren Minimum (für positives c) Du suchst.
Wenn Du das gefunden hast, hast Du [mm] U_{Min} [/mm] und musst noch h berechnen.
> das ergebnis soll sein: h=5,14 und [mm]U_{Min}=23,33.[/mm] b=c hatte
> ich auch schon mal angenommen und verworfen, hatte ich mich
> evtl. verrechnet? wer kann helfen? vielen dank vorab!!!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Grüße,
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:28 Mi 31.12.2008 | | Autor: | p101288896 |
DANKE!!! für die EXTREM schnelle und hochWERTige Antwort!!!
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