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| Aufgabe | In eine Parabel 2.Grades mit folgenden Punkten: [mm]N_1(0/0)[/mm] [mm]N_2(30/0)[/mm] [mm]S(15/12,5)[/mm]
wird ein rechtwinkliger Dreiek eingezeichnet, der die maximale Fläche bekommen soll. Bestimmen Sie die Abmessungen für das Dreieck. |
Hallo Allerseits,
diese Aufgabe kam bei mir heute in der Arbeit dran. Ich denke, dass ich den richtigen Ansatz gefunden habe, aber am Ende bin ich dann nicht mehr damit klar gekommen.
Als erstes habe ich die Hauptbedingung aufgestellt. Da bei mir die Fläche gefragt ist, brauche ich die Formel von dem Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks: [mm]A(g,h)=\bruch{1}{2}*G*h[/mm]
Als nächstes brauche ich die Nebenbedingung und das soll dann die Funktionsgleichung von der Parabel sein.
[mm]f(x)=ax^2+bx+c[/mm]
[mm]f(0)=0[/mm] [mm]c=0[/mm]
[mm]f(30)=0[/mm] [mm]900a+30b=0[/mm]
[mm]f(15)=12,5[/mm] [mm]225a+15b=12,5 [/mm]
Dann habe ich a und b ausgerechnet und kam zu der Gleichung [mm]f(x)=-\bruch{1}{18}x^2+\bruch{5}{3}x[/mm] Diese Gleichung ist da sozusagen meine Höhe. Und da habe ich einfach für x = g eingesetzt und meine Zielfunktion gebildet:
[mm]A(g)=\bruch{1}{2}g*(-\bruch{1}{18}g^2+\bruch{5}{3}g)[/mm]
[mm]A(g)=-\bruch{1}{36}g^3+\bruch{5}{6}g^2[/mm]
Davon die 1.Ableitung:
[mm]A'(g)=-\bruch{1}{12}g^2+\bruch{5}{3}g[/mm]
[mm]A'(g)=0[/mm]
[mm]=g(-\bruch{1}{12}g+\bruch{5}{3})[/mm]
[mm]=-\bruch{1}{12}g+\bruch{5}{3}[/mm]
[mm]-\bruch{5}{3}=-\bruch{1}{12}g[/mm]
[mm]20=g[/mm]
Nun habe ich die Grundseite, aber dann fehlt mir die Höhe, ich weiss nicht wie ich die Höhe rausbekommen kann. Mit dem Satz von Pythagoras geht das nicht, weil mir noch die dritte Seite fehlt. Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben oder ein Vorschlag wie man hier noch weiterrechnen könnte? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Vielen dank schon mal im voraus!
tanusjcha
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
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Hallo,
Deine Rechnungen habe ich nicht in Details nachvollzogen, Dein Tun ist jedoch sinnvoll.
Du betrachtest das rechtwinklige Dreieck mit den Eckpunkten (0/0), (g/0), [mm] (g/$-\bruch{1}{18}g^2+\bruch{5}{3}g [/mm] $).
Du hast ausgerechnet, daß für g=20 der Flächeninhalt maximal ist, also für das Dreieck mit den Eckpunkten
(0/0), (20/0) und (20/ [mm] \bruch{100}{9})
[/mm]
Die Höhe des Dreiecks ist doch [mm] \bruch{100}{9}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Das habe ich jetzt nicht so ganz verstanden mir den Eckpunkten, könntest du das bitte etwas genauer erläutern??
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> Das habe ich jetzt nicht so ganz verstanden mir den
> Eckpunkten, könntest du das bitte etwas genauer erläutern??
Guck Dir doch mal die Skizze Deines Anhanges an.
Du betrachtest ein rechtwinkliges Dreieck, dessen oberer Punkt auf der Parabel liegt, also die Koodinaten (x,f(x)) hat.
Gehst Du von dem Punkt aus nach unten, triffst Du den zweiten Dreieckspunkt (x/0), und der dritte ist lt. Skizze (0/0).
Du hast nun in Deiner Rechnung das optimale x bestimmt.
Es war x=20.
Nimmst Du die untere Seite als Grundseite, hat diese die Länge 20, und die Höhe auf dieser Seite ist gerade f(20).
Somit hat Dein Dreieck mit dem optimalen Flächeninhalt die Fläche [mm] gh/2=\bruch{20*f(20)}{2}.
[/mm]
Du hattest doch die Funktion A(x) auch entsprechend aufgestellt.
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![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]"){kind=small}
